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数学・工学事典 / 数学 / 基礎数学 / 方程式・不等式

等式と不等式

等式の性質

恒等式と方程式

% $x^2-1=(x-2)(x+2)$ のように, 「すべての $x$ について成り立つ」等式を \ommindex{恒等式}{こうとうしき}といい, $x^2-1=0$ のように, 「ある $x$ についてだけ成り立つ(この場合には $x=\pm 1$)」等式を \ommindex{方程式}{ほうていしき}という。 方程式が成り立つような $x$ の値を \ommindex{方程式の解}{ほうていしきのかい}という。 方程式を解く対象となる文字(上の説明では $x$)を \ommindex{未知数}{みちすう}という。 %

不等式の性質

% 大小関係を表す記号を\ommindex{不等号}{ふとうごう}という。 不等号には $<$, $>$, $\le$, $\ge$ があり, それぞれの意味は次の通りである。 % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $a<b,\quad b>a$:$b$ は $a$ より大きい \item[$\bullet$] $a\le b, \quad b\le a$: $b$ は $a$ と等しいまたは $b$ は $a$ より大きい \end{enumerate} % 不等号で結ばれた式を\ommindex{不等式}{ふとうしき}という。 不等式は次の性質をもつ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $A<B$ ならば $A+C<B+C,\quad A-C<B-C$ \item[(2)] $A<B$, $C>0$ ならば $AC<BC$ $A<B$, $C<0$ ならば $AC>BC$, \item[(3)] $A<B$, $B<C$ ならば $A<C$ \end{enumerate} % %

条件付き不等式と絶対不等式

% $x^2+1>0$ のように, 「すべての実数 $x$ について成り立つ」不等式を \ommindex{絶対不等式}{ぜったいふとうしき}といい, $x^2-1<0$ のように, 「ある $x$ についてだけ成り立つ(この場合には $-1<x<1$)」不等式を \ommindex{条件付き不等式}{じょうけんつきふとうしき}という。 条件付き不等式が成り立つような $x$ の範囲を \ommindex{不等式の解}{ふとうしきのかい}という。 %

相加・相乗平均の不等式

% 正の数 $a$, $b$ に対して % \begin{align*} m_1=\frac{a+b}{2} \end{align*} % を $a$, $b$ の\ommindex{相加平均}{そうかへいきん}という。 また, % \begin{align*} m_2=\sqrt{ab} \end{align*} % を $a$, $b$ の\ommindex{相乗平均}{そうじょうへいきん}という。 任意の正の数 $a$, $b$ に対して, 相加平均は相乗平均以上である。 すなわち, 不等式 % \begin{align*} \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} \end{align*} % が成り立つ。 この不等式を \ommindex{相加・相乗平均の不等式}{そうか・そうじょうへいきんのふとうしき}という。

連立方程式

連立不等式

応用例

  • 応力とひずみ(1) (材料力学(V-A-3 力学))

2次方程式

2次方程式の解の公式

% $a$, $b$, $c$ を実数とするとき, $x$ に関する方程式 % \begin{align*} ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0) \end{align*} % を\ommindex{2次方程式}{にじほうていしき}という。 この方程式の左辺は % \begin{align*} & ax^2+bx+c \\ &= a\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right) \\ &= a\left\{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right\} \\ &= a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right\} \\ &= a\left\{ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}^2\right\} \\ &= a \left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right) \left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right) \end{align*} % と変形できる。 ここで, 複号を $a$ の符号と同じものとすれば % \begin{align*} \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \end{align*} % となるから, 与えられた2次方程式の解は % \begin{align*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} % となる。 これを2次方程式の\ommindex{解の公式}{かいのこうしき}という。 %

判別式

% 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ に対して, % \begin{align*} D=b^2-4ac \end{align*} % とおく。 このとき, この2次方程式の解は, $D$ の符号によって次のように分類することができる。 % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac>0$ ならば2つの異なる\ommindex{実数解}{じっすうかい}をもつ。 \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac=0$ ならば ただ1つの解 $x=\displaystyle -\frac{b}{2a}$ をもつ。 これを\ommindex{2重解}{にじゅうかい}という。 \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac=0$ ならば2つの異なる\ommindex{虚数解}{きょすうかい}をもつ。 \end{enumerate} % 式 $D=b^2-4ac$ を2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の 解の\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。 %

解と係数の関係

% 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると, これらの和, 積について % \begin{align*} \alpha+\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= -\frac{b}{a} \\ \alpha\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{align*} % が成り立つ。 これら2つの式 % \begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*} % をまとめて, 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の \ommindex{解と係数の関係}{かいとけいすうのかんけい}という。 %

2次不等式

% $a$, $b$, $c$ を実数とするとき, $x$ に関する不等式 % \begin{align*} \begin{array}{ccc} ax^2+bx+c>0 && ax^2+bx+c<0 \\ ax^2+bx+c\geqq 0 && ax^2+bx+c\leqq 0 \end{array} \end{align*} % を\ommindex{2次不等式}{にじふとうしき}という。 $a<0$ のときは両辺に $-1$ をかけて不等号を逆転させることにして, ここでは $a>0$ であるとする。 このとき, これらの不等式の解は次のようになる。 ここで, 第1行目は2次方程式の実数解 $(\alpha<\beta)$ である。 % \begin{align*} % \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & D>0 & D=0 & D<0 \\ \hline ax^2+bx+c=0 & x=\alpha, \beta & x=\alpha & 虚数解 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c>0 & x<\alpha, x>\beta & すべての実数 & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\geqq 0 & x\leqq \alpha, x\geqq\beta & x\ne \alpha & すべての実数 \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c<0 & \alpha<x<\beta & 解なし & 解なし \\[0.5em] \hline ax^2+bx+c\leqq 0 & \alpha\leqq x\leqq \beta & x= \alpha & 解なし \\[0.5em] \hline \end{array} \end{align*} %