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数学・工学事典 / 数学 / 基礎数学 / 方程式・不等式
等式と不等式
恒等式と方程式
%
$x^2-1=(x-2)(x+2)$ のように,
「すべての $x$ について成り立つ」等式を
\ommindex{恒等式}{こうとうしき}といい,
$x^2-1=0$ のように,
「ある $x$ についてだけ成り立つ(この場合には $x=\pm 1$)」等式を
\ommindex{方程式}{ほうていしき}という。
方程式が成り立つような $x$ の値を
\ommindex{方程式の解}{ほうていしきのかい}という。
方程式を解く対象となる文字(上の説明では $x$)を
\ommindex{未知数}{みちすう}という。
%
不等式の性質
%
大小関係を表す記号を\ommindex{不等号}{ふとうごう}という。
不等号には $<$, $>$, $\le$, $\ge$ があり,
それぞれの意味は次の通りである。
%
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
$a<b,\quad b>a$:$b$ は $a$ より大きい
\item[$\bullet$]
$a\le b, \quad b\le a$:
$b$ は $a$ と等しいまたは $b$ は $a$ より大きい
\end{enumerate}
%
不等号で結ばれた式を\ommindex{不等式}{ふとうしき}という。
不等式は次の性質をもつ。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$A<B$ ならば $A+C<B+C,\quad A-C<B-C$
\item[(2)]
$A<B$, $C>0$ ならば $AC<BC$
$A<B$, $C<0$ ならば $AC>BC$,
\item[(3)]
$A<B$, $B<C$ ならば $A<C$
\end{enumerate}
%
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条件付き不等式と絶対不等式
%
$x^2+1>0$ のように,
「すべての実数 $x$ について成り立つ」不等式を
\ommindex{絶対不等式}{ぜったいふとうしき}といい,
$x^2-1<0$ のように,
「ある $x$ についてだけ成り立つ(この場合には $-1<x<1$)」不等式を
\ommindex{条件付き不等式}{じょうけんつきふとうしき}という。
条件付き不等式が成り立つような $x$ の範囲を
\ommindex{不等式の解}{ふとうしきのかい}という。
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相加・相乗平均の不等式
%
正の数 $a$, $b$ に対して
%
\begin{align*}
m_1=\frac{a+b}{2}
\end{align*}
%
を $a$, $b$ の\ommindex{相加平均}{そうかへいきん}という。
また,
%
\begin{align*}
m_2=\sqrt{ab}
\end{align*}
%
を $a$, $b$ の\ommindex{相乗平均}{そうじょうへいきん}という。
任意の正の数 $a$, $b$ に対して,
相加平均は相乗平均以上である。
すなわち,
不等式
%
\begin{align*}
\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}
\end{align*}
%
が成り立つ。
この不等式を
\ommindex{相加・相乗平均の不等式}{そうか・そうじょうへいきんのふとうしき}という。
応用例
- 応力とひずみ(1) (材料力学(V-A-3 力学))
2次方程式
2次方程式の解の公式
%
$a$, $b$, $c$ を実数とするとき,
$x$ に関する方程式
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c=0
\quad
(a\ne 0)
\end{align*}
%
を\ommindex{2次方程式}{にじほうていしき}という。
この方程式の左辺は
%
\begin{align*}
&
ax^2+bx+c
\\
&=
a\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)
\\
&=
a\left\{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right\}
\\
&=
a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right\}
\\
&=
a\left\{
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2
-
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}^2\right\}
\\
&=
a
\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)
\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)
\end{align*}
%
と変形できる。
ここで,
複号を $a$ の符号と同じものとすれば
%
\begin{align*}
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
=
\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\quad
\end{align*}
%
となるから,
与えられた2次方程式の解は
%
\begin{align*}
x
=
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}
%
となる。
これを2次方程式の\ommindex{解の公式}{かいのこうしき}という。
%
判別式
%
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ に対して,
%
\begin{align*}
D=b^2-4ac
\end{align*}
%
とおく。
このとき,
この2次方程式の解は,
$D$ の符号によって次のように分類することができる。
%
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
$D=b^2-4ac>0$ ならば2つの異なる\ommindex{実数解}{じっすうかい}をもつ。
\item[$\bullet$]
$D=b^2-4ac=0$ ならば
ただ1つの解 $x=\displaystyle -\frac{b}{2a}$ をもつ。
これを\ommindex{2重解}{にじゅうかい}という。
\item[$\bullet$]
$D=b^2-4ac=0$ ならば2つの異なる\ommindex{虚数解}{きょすうかい}をもつ。
\end{enumerate}
%
式 $D=b^2-4ac$ を2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の
解の\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。
%
解と係数の関係
%
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$,
$\beta$ とすると,
これらの和,
積について
%
\begin{align*}
\alpha+\beta
&=
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
+
\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\\
&=
-\frac{b}{a}
\\
\alpha\beta
&=
\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\cdot
\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\\
&=
\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}
\\
&=
\frac{c}{a}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これら2つの式
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\begin{align*}
\alpha+\beta=-\frac{b}{a},
\quad
\alpha\beta=\frac{c}{a}
\end{align*}
%
をまとめて,
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の
\ommindex{解と係数の関係}{かいとけいすうのかんけい}という。
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2次不等式
%
$a$, $b$, $c$ を実数とするとき,
$x$ に関する不等式
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\begin{align*}
\begin{array}{ccc}
ax^2+bx+c>0
&&
ax^2+bx+c<0
\\
ax^2+bx+c\geqq 0
&&
ax^2+bx+c\leqq 0
\end{array}
\end{align*}
%
を\ommindex{2次不等式}{にじふとうしき}という。
$a<0$ のときは両辺に $-1$ をかけて不等号を逆転させることにして,
ここでは $a>0$ であるとする。
このとき,
これらの不等式の解は次のようになる。
ここで,
第1行目は2次方程式の実数解 $(\alpha<\beta)$ である。
%
\begin{align*}
%
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& D>0 & D=0 & D<0
\\ \hline
ax^2+bx+c=0
& x=\alpha, \beta
& x=\alpha
& 虚数解
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c>0
& x<\alpha, x>\beta
& すべての実数
& すべての実数
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\geqq 0
& x\leqq \alpha, x\geqq\beta
& x\ne \alpha
& すべての実数
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c<0
& \alpha<x<\beta
& 解なし
& 解なし
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\leqq 0
& \alpha\leqq x\leqq \beta
& x= \alpha & 解なし
\\[0.5em] \hline
\end{array}
\end{align*}
%