関数
関数
集合 $X$ の各要素 $x$ に対して,
実数 $y$ をただ1つ対応させる規則があるとき,
その規則を,
\ommindex{定義域}{ていぎいき}を $X$ とする
\ommindex{関数}{かんすう}という。
関数によって $x$ に対応する $y$ の値を $f(x)$ とかく。
記号 $f(x)$ を\ommindex{関数記号}{かんすうきごう}という。
このとき,
集合 $Y=\{f(x)\,|\,x\in X\}$ をこの関数の
\ommindex{値域}{ちいき}という。
以下,
この項目では,
$X$ は実数の部分集合とする。
%
関数の増減
%
$I$ を,
関数 $f(x)$ の定義域に含まれる区間であるとする。
$I$ の任意の点 $x_1$, $x_2$ に対して,
%
\begin{align*}
x_1<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x_1)<f(x_2)
\end{align*}
%
が成り立つとき,
$f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{単調増加}{たんちょうぞうか}であるという。
また,
%
\begin{align*}
x_1<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x_1)>f(x_2)
\end{align*}
%
が成り立つとき,
$f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{単調減少}{たんちょうげんしょう}であるという。
$f(x)$ が増加であるか減少であるかの状態を
\ommindex{関数の増減}{かんすうのぞうげん}という。
関数 $f(x)$ が単調増加または単調減少であるとき,
$f(x)$ は\ommindex{単調}{たんちょう}であるという。
%
関数の凹凸
%
$I$ を,
関数 $f(x)$ の定義域に含まれる区間であるとする。
$I$ の任意の点 $x_1$, $x_2$ に対して,
%
\begin{align*}
x_1<x<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
\end{align*}
%
が成り立つとき,
$f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{下に凸}{したにとつ}であるという。
また,
%
\begin{align*}
x_1<x<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
\end{align*}
%
が成り立つとき,
$f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{上に凸}{うえにとつ}であるという。
$f(x)$ が下に凸であるか上に凸であるかの状態を
\ommindex{関数の凹凸}{かんすうのおうとつ}という。
%
関数のグラフ
%
座標平面上の点集合
%
\begin{align*}
\text{C}=\{(x,y)\,|\,y=f(x)\}
\end{align*}
%
を関数 $y=f(x)$ の\ommindex{グラフ}{ぐらふ}という。
一般に,
関数のグラフは平面上の曲線となる。
\vspace
\ommindex{グラフの平行移動}{へいこういどう}
$y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して,
点 $(a+p,b+q)$ は $y=f(x-p)+q$ のグラフ上の点である。
したがって,
$y=f(x-p)+q$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸の
正の方向に $p$,
$y$ 軸の正の方向に $q$ だけ平行移動したものである。
\vspace
\ommindex{グラフの対称移動}{たいしょういどう}
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して,
点 $(a,-b)$ は $y=-f(x)$ のグラフ上の点である。
したがって,
$y=-f(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと $y$ 軸に関して対称である。
\item[(2)]
$y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して,
点 $(-a,b)$ は $y=f(-x)$ のグラフ上の点である。
したがって,
$y=f(-x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸に関して対称である。
\item[(3)]
$y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して,
点 $(-a,-b)$ は $y=-f(-x)$ のグラフ上の点である。
したがって,
$y=f(-x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと原点に関して対称である。
\end{enumerate}
\vspace
\noindent \ommindex{グラフの拡大}{かくだい}
$k\ne 0$ であるとする。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して,
点 $(a,kb)$ は $y=kf(x)$ のグラフ上の点である。
したがって,
$y=kf(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に
$k$ 倍したものである。
\item[(2)]
$y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して,
点 $(ka,b)$ は $y=f\left(\frac{x}{k}\right)$ のグラフ上の点である。
したがって,
$y=f\left(\frac{x}{k}\right)$ のグラフは
$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $k$ 倍したものである。
\end{enumerate}
%
偶関数と奇関数
%
関数 $f(x)$ の定義域 $X$ に含まれる任意の点 $x$ に対して,
$-x$ もまた $X$ に含まれているとする。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$f(-x)=f(x)$ が成り立つとき,
$f(x)$ は\ommindex{偶関数}{ぐうかんすう}であるという。
偶関数のグラフは $y$ 軸に関して対称である。
\item[(2)]
$f(-x)=-f(x)$ が成り立つとき,
$f(x)$ は\ommindex{奇関数}{きかんすう}であるという。
偶関数のグラフは原点に関して対称である。
\end{enumerate}
%
合成関数
%
2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり,
$f(x)$ の値域が $g(x)$ の定義域に含まれているとする。
このとき,
関数 $f(g(x))$ を $f(x)$ と $g(x)$ の
\ommindex{合成関数}{ごうせいかんすう}という。
%
逆関数
%
関数 $f(x)$ は区間 $X$ を定義域とする単調な関数であるとする。
このとき,
$f(x)$ の値域 $Y$ に含まれる任意の $y$ に対して,
$y=f(x)$ となる $x$ がただ1つ定まる。
$y$ に対して $x$ を対応させる関数を $y=f(x)$ の
\ommindex{逆関数}{ぎゃくかんすう}といい,
$x=f^{-1}(y)$ と表す。
定義から,
%
\begin{align*}
f^{-1}\left(f(x)\right)=x
, \quad
f\left(f^{-1}(y)\right)=y
\end{align*}
%
が成り立つ。
%
応用例
- 流体の動力学(17) 水車における運動量の法則 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
2次関数
2次関数
%
$a$, $b$, $c$ を定数,
$a\ne 0$ としたとき,
関数 $y=f(x)$ が $x$ の2次式
%
\begin{align*}
y=ax^2+bx+c
\end{align*}
%
で表される関数を\ommindex{2次関数}{にじかんすう}という。
$y=ax^2$ のグラフは,
原点を\ommindex{頂点}{ちょうてん}とする
\ommindex{放物線}{ほうぶつせん}である。
$y=ax^2+bx+c$ は
%
\begin{align*}
y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{align*}
%
と変形することができる。
これを $y=ax^2+bx+c$ の\ommindex{標準形}{ひょうじゅんけい}という。
したがって,
$y=ax^2+bx+c$ のグラフは,
$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{b}{2a}$,
$y$ 軸方向に $-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ だけ平行移動したものになる。
とくに,
$y=ax^2+bx+c$ のグラフの頂点の座標は
%
\begin{align*}
\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)
\end{align*}
%
である。
%
2次関数と2次方程式
%
一般に,
方程式 $f(x)=0$ が実数解 $x=\alpha$ をもつとき,
点 $(\alpha,0)$ は $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点である。
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数は,
判別式 $D=b^2-4ac$ によって決まるから,
2次関数のグラフと $x$ 軸との共有点は次のように分類される。
%
\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|}
\hline
& ax^2+bx+c=0 & y=ax^2+bx+c
\rule[-1zh]{0zw}{3zh}
\\ \hline
D>0
& \mbox{2つの異なる実数}
& \mbox{$x$ 軸と2点で交わる}
\rule[-1zh]{0zw}{3zh}
\\ \hline
D=0
& \mbox{1つの実数解 (2重解)}
& \mbox{$x$ 軸と接する}
\rule[-1zh]{0zw}{3zh}
\\ \hline
D<0
& \mbox{虚数解}
& \mbox{$x$ 軸と共有点をもたない}
\rule[-1zh]{0zw}{3zh}
\\ \hline
\end{array}
\end{align*}
%
%
2次関数と2次不等式
%
一般に,
不等式 $f(x)<0$ の解は
$y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より上にある $x$ の範囲であり,
不等式 $f(x)>0$ の解は
$y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲である。
2次不等式の解は2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフによって解くことができる。
ここでは $a>0$ のときだけを扱う。
(1) $D>0$ のとき
$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と異なる2点で交わり,
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は2つの異なる実数解 $\alpha$,
$\beta$ ($\alpha<\beta$) をもつ。
したがって,
不等式の解は次のようになる。
%
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
不等式 & 解
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c>0 & x<\alpha, \quad x>\beta
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\ge 0 & x\le\alpha, \quad x\ge \beta
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c<0 & \alpha<x<\beta
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\le 0 & \alpha\le x \le\beta
\\[0.5em] \hline
\end{array}
\end{align*}
(2) $D=0$ のとき
$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と2点で接し,
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は2重解 $\alpha$ をもつ。
したがって,
不等式の解は次のようになる。
%
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
不等式 & 解
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c>0 & x\ne\alpha
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\ge 0 & すべての実数
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c<0 & 解なし
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\le 0 & x=\alpha
\\[0.5em] \hline
\end{array}
\end{align*}
(3) $D<0$ のとき
$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と共有点をもたず,
任意の $x$ に対して $ax^2+bx+c>0$ である。
したがって,
不等式の解は次のようになる。
%
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
不等式 & 解
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c>0 & すべての実数
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\ge 0 & すべての実数
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c<0 & 解なし
\\[0.5em] \hline
ax^2+bx+c\le 0 & 解なし
\\[0.5em] \hline
\end{array}
\end{align*}