% 角の大きさの単位で, 半径と弧の長さがともに $1$ である扇形の中心角の大きさを $1$ と定める方法を \ommindex{弧度法}という。 弧度法の単位は\ommindex{ラジアン}{らじあん} ($[\text{rad}]$) であるが, この単位は省略する。 これに対して, 平角を $180^{\circ}$ と定める方法を \ommindex{60分法}{ろくじゅっぷんほう}という。 60分法の単位 ${}^{\circ}$ は省略できない。 半径 $1$ の半円の弧の長さは $\pi$ であるから, 弧度法と60分法の間には次の関係がある。 % \begin{align*} 180^{\circ}=\pi\ [\text{rad}] \end{align*} % %

% $(X,Y)$ 座標が定められた座標平面の, 原点を端点とする半直線を\ommindex{動径}{どうけい}という。 動径は原点を中心に回転するものとし, 時計の針と逆の回転を\ommindex{正の回転}{せいのかいてん}, 時計の針と同じ方向の回転を\ommindex{負の回転}{ふのかいてん}と定める。 動径の回転した角を表すとき, 角の範囲は $2\pi$ ($360^{\circ}$, 1回転)を超えた角, 負の角を考える必要がある。 このように, 角の範囲を実数全体に広げたものを\ommindex{一般角}{いっぱんかく}という。 実数 $\theta$ に対して, 動径が, $X$ 軸の正の部分と重なった位置から $\theta$ だけ 回転した位置にあるとき, この動径を \ommindex{角$\boldsymbol{\theta}$に対する動径}{かくしーたにたいするどうけい}という。 動径の位置が与えられたとき, その動径が $X$ 軸の正の部分と重なった位置から それだけ回転したかを表す角を, \ommindex{動径が表す角}{どうけいがあらわすかく}という。 動径の位置からは何回転したかはわからないので, 動径が表す角は % \begin{align*} \theta=\theta_0+2n\pi\quad (0\le \theta<2\pi, \mbox{$n$ は整数}) \end{align*} % のように表す。 $n$ は回転角で, $n<0$ のときには負の回転を表す。 %

% 座標平面上の原点を中とする半径 $1$ の円を \ommindex{単位円}{たんいえん}という。 角 $\theta$ に対する動径が単位円と交わる点を P$(X,Y)$ とするとき, $X$, $Y$ は角 $\theta$ の関数となる。 これらの関数を % \begin{align*} X=\cos{\theta} , \quad Y=\sin{\theta} \end{align*} % と表す。 $X=\cos{\theta}$ を\ommindex{余弦関数(コサイン)}{よげんかんすう}, $Y=\sin{\theta}$ を\ommindex{正弦関数(サイン)}{正弦関数}という。 また, $\cos{\theta}\ne 0$ ($\theta\ne \frac{\pi}{2}+2n\pi$, $n$ は整数)である $\theta$ に対して, \ommindex{正接関数(タンジェント)}{せいせつかんすう}を % \begin{align*} \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align*} % と定める。 これら3つの関数を総称して\ommindex{三角関数}{さんかくかんすう}という。

定義から, 任意の実数 $\theta$ について % \begin{align*} \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1 \end{align*} % が成り立つ。 さらに, この式を $\cos^2{\theta}$ で割ると % \begin{align*} 1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}} \end{align*} % が成り立つ。 %

% \begin{enumerate} \item[(1)] $n$ が整数のとき, 角 $\theta+2n\pi$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と同じであるから % \begin{align*} \cos(\theta+2n\pi)&=\cos{\theta} \\ \sin(\theta+2n\pi)&=\sin{\theta} \\ \tan(\theta+2n\pi)&=\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(2)] 角 $-\theta$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と $X$ 軸に関して対称であること, および正接関数の定義から, % \begin{align*} \cos(-\theta)&=\cos{\theta} \\ \sin(-\theta)&=-\sin{\theta} \\ \tan(-\theta)&=-\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(3)] 角 $\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と直線 $Y=X$ に関して対称あることから % \begin{align*} \cos\left(\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta\right) &=\sin{\theta} \\ \sin\left(\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta\right) &=\cos{\theta} \\ \tan\left(\displaystyle \frac{\pi}{\,2\,}-\theta\right) &=\displaystyle \frac{1}{\tan{\theta}} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(4)] 角 $\pi-\theta$ に対する動径は, 角 $\theta$ に対する動径と $Y$ 軸に関して対称あることから % \begin{align*} \cos(\pi-\theta) & =-\cos{\theta} \\ \sin(\pi-\theta) & =\sin{\theta} \\ \tan(\pi-\theta) & =-\tan{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 \end{enumerate} %

% 三角関数 $y=\sin{x}$, $y=\cos{x}$ は次の性質をもつ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 定義域は実数全体, 値域は $-1\le y\le 1$ である。 \item[(2)] 周期を $2\pi$ とする周期関数である。 \item[(3)] $y=\cos{x}$ のグラフは, $y=\sin{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi}{\,2\,}$ だけ 平行移動したものである。 \item[(4)] $\sin{x}=0$ の解は $x=n\pi$ ($n$ は整数) であり, $x$ がこの値のとき $y=\sin{x}$ のグラフは $x$ 軸と交わる。 \item[(5)] $\cos{x}=0$ の解は $x=\frac{\pi}{\,2\,}+n\pi$ ($n$ は整数) であり, $x$ がこの値のとき $y=\cos{x}$ のグラフは $x$ 軸と交わる。 \end{enumerate} % 三角関数 $y=\tan{x}$ のグラフは次の性質をもつ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 定義域は $x\ne \frac{(2n+1)\pi}{2}$ ($n$ は整数)を満たす実数全体, 値域は実数全体である。 \item[(2)] 周期を $\pi$ とする周期関数である。 \item[(3)] $x\ne \frac{(2n+1)\pi}{2}$ ($n$ は整数) のとき, $y=\tan{x}$ の値は定義されない。 直線 $x=\frac{(2n+1)\pi}{2}$ は $y=\tan{x}$ のグラフの漸近線である。 \item[(4)] $-\frac{\pi}{\,2\,}< x < \frac{\pi}{\,2\,}$ で単調増加である。 \item[(5)] $\tan{x}=0$ の解は $x=n\pi$ ($n$ は整数) であり, $x$ がこの値のとき $y=\tan{x}$ のグラフは $x$ 軸と交わる。 \end{enumerate} %

三角関数の\ommindex{逆三角関数}{ぎゃくさんかくかんすう}という。 三角関数は単調関数でないため, 逆関数が存在するように定義域に制限をつける必要がある。 $y=\sin{x}$, $y=\cos{x}$, $y=\tan{x}$ の逆関数をそれぞれ次のように定める。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $y=\sin{x}$ $\left(-\frac{\pi}{\,2\,}\le x \le \frac{\pi}{\,2\,}\right)$ の 逆関数を $x=\sin^{-1}{y}$ と表し, これを\ommindex{逆正弦関数(アークサイン)}{ぎゃくせいげんかんすう}という。 すなわち, $\sin^{-1}{y}$ は $y=\sin{x}$ を満たす $x$ のうち, $-\frac{\pi}{\,2\,}\le x \le \frac{\pi}{\,2\,}$ の範囲の値である。 \item[(2)] $y=\cos{x}$ $\left(0\le x \le \pi\right)$ の 逆関数を $x=\tan^{-1}{y}$ と表し, これを\ommindex{逆余弦関数(アークコサイン)}{ぎゃくよげんかんすう}という。 すなわち, $\cos^{-1}{y}$ は $y=\cos{x}$ を満たす $x$ のうち, $0\le x \le \pi$ の範囲の値である。 \item[(3)] $y=\tan{x}$ $\left(-\frac{\pi}{\,2\,} < x < \frac{\pi}{\,2\,}\right)$ の 逆関数を $x=\tan^{-1}{y}$ と表し, これを\ommindex{逆正接関数(アークサイン)}{ぎゃくせいせつかんすう}という。 すなわち, $\tan^{-1}{y}$ は $y=\tan{x}$ を満たす $x$ のうち, $-\frac{\pi}{\,2\,} < x < \frac{\pi}{\,2\,}$ の範囲の値である。 \end{enumerate} %

任意の実数 $\alpha$, $\beta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin(\alpha+\beta) &= \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \cos(\alpha-\beta) &= \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \\ \tan(\alpha-\beta) &= \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{加法定理}{かほうていり}という。

任意の実数 $\theta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin{2\theta} &= 2\sin{\theta}\cos{\theta} \\ \cos{2\theta} &= \cos^2{\theta}-\sin^2{\theta} \\ &= 2\cos^2{\theta}-1 \\ &= 1-2\sin^2{\theta} \\ \tan{2\theta} &= \frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{2倍角の公式}{にばいかくのこうしき}という。

任意の実数 $\theta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1-\cos{2\theta}) \\ \cos^2{\theta} &= \frac{1}{2}(1+\cos{2\theta}) \end{align*} % これらの公式を\ommindex{半角の公式}{はんかくのこうしき}という。

任意の実数 $\alpha$, $\beta$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin{\alpha}\cos{\beta} &= \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos{\alpha}\sin{\beta} &= \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\} \\ \cos{\alpha}\cos{\beta} &= \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\} \\ \sin{\alpha}\sin{\beta} &= -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{積を和・差に直す公式}{せきをわ・さになおすこうしき}という。

任意の実数 $A$, $B$ に対して, 次の式が成り立つ。 % \begin{align*} \sin{A}+\sin{B} &= 2\sin{\frac{A+B}{2}\alpha}\cos{\frac{A-B}{2}} \\ \sin{A}-\sin{B} &= 2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}} \\ \cos{A}+\cos{B} &= 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} \\ \cos{A}-\cos{B} &= -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}} \end{align*} % これらの公式を\ommindex{和・差を積に直す公式}{わ・さをせきになおすこうしき}という。

周期が等しい単振動 $\sin{x}$ と $\cos{x}$ は, 次のようにして, 1つの単振動で表すことができる。 % \begin{align*} a\sin{x}+b\cos{x} &= r\sin(x+\alpha) \\ a\cos{x}+b\sin{x} &= r\cos(x-\alpha) \end{align*} % ここで, % \begin{align*} & r=\sqrt{a^2+b^2} \\ & \cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \sin{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*} % である。 これを\ommindex{単振動の合成}{たんしんどうのごうせい}という。