座標平面上の2点 A$(x_1,y_1)$, B$(x_2,y_2)$ 間の距離を $d$ とすれば, % \begin{align*} d = \sqrt{ \left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2 } \end{align*} % が成り立つ。 とくに, 原点と点 $(x,y)$ の距離 $d$ は % \begin{align*} d = \sqrt{x^2+y^2} \end{align*} % である。 %

% 正の数 $a$, $b$, $c$, $d$ について, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ が成り立つとき, $a:b=c:d$ とかき, $a$, $b$ の\ommindex{比}{ひ}は $c$, $d$ の比に等しいという。 このとき, $\frac{a}{b}$ を $a:b$ の\ommindex{比の値}{ひのあたい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $m$, $n$ は正の数とする。 数直線上の2点 A, B に対して, 線分 AB 上にあって, % \begin{align*} \text{AC}:\text{CB}=m:n \end{align*} % が成り立つ点 C を, 線分 AB を $m:n$ に\ommindex{内分する点}{ないぶんするてん}という。 A, B の座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とするとき, AB を $m:n$ に内分する点 C の座標を $x_0$ とすれば, $x_0$ は % \begin{align*} x_0=\frac{mx_2+nx_1}{m+n} \end{align*} % となる。 \item[(2)] $m$, $n$ は $m\ne n$ を満たす正の数とする。 数直線上の2点 A, B に対して, 数直線上の 線分 AB の外側にあって, % \begin{align*} \text{AC}:\text{CB}=m:n \end{align*} % が成り立つ点 C を, 線分 AB を $m:n$ に\ommindex{外分する点}{がいぶんするてん}という。 $m>n$ のとき, 点 C は線分 AB を B の側に延長した直線上にあり, $m<n$ のとき, A の側に延長した直線上にある。 A, B の座標をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とするとき, AB を $m:n$ に外分する点 C の座標を $x_0$ とすれば, $x_0$ は % \begin{align*} x_0=\frac{mx_2-nx_1}{m-n} \end{align*} % となる。 \end{enumerate} %

% $f(x,y)=0$ を満たす平面上の点 P$(x,y)$ の全体を, $f(x,y)=0$ の\ommindex{軌跡}{きせき}または $f(x,y)=0$ が表す図形という。 平面上の図形が $f(x,y)=0$ の軌跡となっているとき, $f(x,y)=0$ をこの\ommindex{図形の方程式}{ずけいのほうていしき}という。 %

% 一般に, $a$, $b$, $c$ が定数のとき, 平面上の\ommindex{直線}{ちょくせん}の方程式 % \begin{align*} ax+by+c=0 \end{align*} % である。 この直線を $\ell$ とする。 $b\ne 0$ のとき, この式は % \begin{align*} y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \end{align*} %$ と変形することができる。 このとき, $x$ の係数 $\displaystyle m=-\frac{a}{b}$ を 直線 $\ell$ の\ommindex{傾き}{かたむき}, 定数項 $\displaystyle y_0=-\frac{c}{b}$ を 直線 $\ell$ の \ommindex{$\boldsymbol{y}$切片}{わいせっぺん}という。 %

% 平面上の定点 C$(a,b)$ からの距離が 一定値 $r$ である\ommindex{円}{えん}の方程式は % \begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{align*} % である。 とくに, 原点を中心とする半径 $r$ の円の方程式は % \begin{align*} x^2+y^2=r^2 \end{align*} % である。 %

% 一般に, 不等式 $f(x,y)>0$, $f(x,y)<0$, $f(x,y)\ge 0$, $f(x,y)\le 0$ が満たす点全体の集合は, 平面上の広がりをもった部分となる。 これを\ommindex{不等式が表す領域}{ふとうしきがあらわすりょういき}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 不等式 $y>2x+1$ が表す領域は直線 $y=2x+1$ より上側の部分, $y<2x+1$ の表す領域は直線 $y=2x+1$ より下側の部分である。 \item[(2)] 不等式 $x^2+y^2<4$ が表す領域は円 $x^2+y^2=4$ の内部, $x^2+y^2>4$ が表す領域は円 $x^2+y^2=4$ の外部である。 \item[(3)] 連立不等式 $\left\{\begin{array}{l} y>2x+1 \\ x^2+y^2<4 \end{array}\right.$ が表す領域は, $y>2x+1$, $x^2+y^2<4$ のそれぞれが表す領域の共通部分であり, 円 $x^2+y^2=4$ の内部で直線 $y=2x+1$ より上にある点集合となる。 \end{enumerate} % %

% 平面上の点 P から直線 $\ell$ に下ろした垂線と直線 $\ell$ との 交点を H とする。 $e$ を $0<e<1$ を満たす定数とするとき, 直線 $\ell$ と点 F に対して, % \begin{align*} \frac{\text{PF}}{\text{PH}}=e \end{align*} % を満たす曲線は % \begin{enumerate} \item[(1)] $0<e<1$ のとき\ommindex{楕円}{だえん} \item[(2)] $e=1$ のとき\ommindex{放物線}{ほうぶつせん} \item[(3)] $e>1$ のとき\ommindex{双曲線}{そうきょくせん} \end{enumerate} % という。 楕円, 放物線, 双曲線を総称して\ommindex{2次曲線}{2じきょくせん}という。 定数 $e$ を\ommindex{離心率}{りしんりつ}という。 2次曲線は別の定義の方法もある(以下の項目参照)が, どちらも同じこととなる。 %

% 平面上の2点 F, F$'$ からの距離の和が一定である点の軌跡を \ommindex{楕円}{だえん}といい, F, F$'$ をその\ommindex{焦点}{しょうてん}という。 $a$, $c$ を $a>c$ を満たす正の定数とするとき, 焦点 F$(c,0)$, F$'(-c,0)$ からの距離の和が $2a$ であるような 楕円の方程式は % \begin{align*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a^2=b^2+c^2) \end{align*} % となる。 これを\ommindex{楕円の標準形}{だえんのひょうじゅんけい}という。 %

% 平面上の2点 F, F$'$ からの距離の差が一定である点の軌跡を \ommindex{双曲線}{そうきょくせん}といい, F, F$'$ をその\ommindex{焦点}{しょうてん}という。 $a$, $c$ を $c>a$ を満たす正の定数とするとき, 焦点 F$(c,0)$, F$'(-c,0)$ からの距離の差が $2a$ であるような 双曲線の方程式は % \begin{align*} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (c^2=a^2+b^2) \end{align*} % となる。 また, 焦点 F$(0,c)$, F$'(0,-c)$ からの距離の差が $2a$ であるような 双曲線の方程式は % \begin{align*} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1 \quad (c^2=a^2+b^2) \end{align*} % となる。 これらを\ommindex{双曲線の標準形}{そうきょくせんのひょうじゅんけい}という。 %

% 平面上の直線 $\ell$ と点 F からの距離が等しい点の軌跡を \ommindex{放物線}{ほうぶつせん}といい, F をその\ommindex{焦点}{しょうてん}, 直線 $\ell$ を\ommindex{準線}{じゅんせん}という。 $p$ を正の定数とするとき, 焦点 F$(p,0)$, 準線が $y=-p$ である放物線の方程式は % \begin{align*} y^2=4px \end{align*} % となる。 こらを\ommindex{放物線の標準形}{ほうぶつせんのひょうじゅんけい}という。 %

% $x=f(t)$, $y=g(t)$ $(\alpha\le t \le \beta)$ が変数 $t$ の関数であるとする。 $t$ の変化に伴って, 点 $(f(t),g(t))$ が曲線 C を描くとき, 関数の組 % \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array}\right. \quad (\alpha\le t \le \beta) \end{align*} % を, $\alpha\le t \le \beta$ を定義域とする 曲線 C の\ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}という。 このとき, 変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう} または\ommindex{パラメータ}{ぱらめーた}という。 % % \begin{enumerate} \item[(1)] $\left\{\begin{array}{l} x=at+x_{0} \\ y=bt+y_{0} \end{array}\right.$ は, 傾きが $\displaystyle \frac{b}{a}$ で, 点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ を通る直線の媒介変数表示である。 \item[(2)] $\left\{\begin{array}{l} x=r\cos{t}+a \\ y=r\sin{t}+b \end{array}\right.\ (0\le t \le \pi)$ は, 点 $(a,b)$ を中心として, 半径が $r$ の円の媒介変数表示である。 \end{enumerate}

% 直線上を円が滑らずに転がるとき, 円周上の点 P が描く軌跡を\ommindex{サイクロイド}{さいくろいど}という。 半径 $a$ の円が $x$ 軸上を滑らずに転がるとき, $t=0$ において原点にあった点が描くサイクロイドの媒介変数表示は % \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} x=a(t-\sin{t}) \\ y=a(1+\cos{t}) \end{array}\right. \end{align*} % である。 % %=video:/media/2014/07/29/140662802622620400.jpg:

% 半径 $a$ の固定された円の内部を, 半径が $\displaystyle \frac{a}{4}$ の円が, 円に内接しながら滑らずに回転するとき, 円周上の点 P が描く軌跡を\ommindex{アステロイド}{あすてろいど}という。 原点を中心とした半径 $a$ の円の内部を転がる 半径 $\displaystyle \frac{a}{4}$ の円周上の, $t=0$ において $(a,0)$ にあった点が描くアステロイドの媒介変数表示は % \begin{align*} \left\{\begin{array}{l} x=a\cos^3{t} \\ y=a\sin^3{t} \end{array}\right. \end{align*} % である。 % %=video:/media/2014/08/01/140682098043159600.jpg:

% 角 $\theta$ に対する動径と, 原点を中心とする半径 $r$ との交点 P の位置を, $(r,\theta)$ と表すとき, これを点 P の\ommindex{極座標}{きょくざひょう}という。 極座標が定められた平面を \ommindex{極座標平面}{きょくざひょうへいめん}といい, 極座標平面では原点を\ommindex{極}{きょく}, $x$ 軸の正の部分を\ommindex{始線}{しせん}という。 %

% 極座標平面上の点 P$(r,\theta)$において, $r$ が$\theta$ の関数として $r=f(\theta)$ と表されているとする。 このとき, $\theta$ の値が変化すると, 点 P$(r,\theta)$ の原点からの距離 $\text{OP}=r$ が変化し, 点 P は平面上の曲線を描く。 $r=f(\theta)$ をこの曲線の \ommindex{極方程式}{きょくほうていしき}という。 より一般に, ある曲線上の点が満たす条件を $r$ と $\theta$ の 関係式として表したものも含めて極方程式という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 原点を中心とする半径 $a$ の円の極方程式は $r=a$ である。 \item[(2)] 原点Oを始点とし 始線 OX となす角が $\alpha$ であるような半直線の極方程式は $\theta =\alpha$ である。 \end{enumerate} % %

% $f(\theta)$ が $f(\theta)$ を満たす単調関数であるとき, 極方程式 $r=f(\theta)$ が表す曲線は, 回転とともに極からの距離が増加または減少し続けていく。 このような性質をもつ曲線を\ommindex{螺旋}{らせん}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $a$, $b$ を $a\ge 0$, $b\ge 0$ を満たす定数とするとき, 極方程式 $r=a+b\theta$ $(\theta\ge 0)$ で表される 曲線を\ommindex{アルキメデスの螺旋}{あるきめですのらせん}という。 \item[(2)] $a$, $b$ が正の定数のとき, 極方程式 $r=a e^{b\theta}$ で表される螺旋を \ommindex{等角螺旋}{とうかくらせん} または\ommindex{対数螺旋}{たいすうらせん}という。 等角螺旋 C 上の点を P とすると, P における C の接線と, 動径 OP のなす角は常に一定である。 \end{enumerate} % 次の図はアルキメデスの螺旋 $r=1+\theta$ および等角螺旋 $1+e^{\frac{\theta}{\,2\,}}$ である。 %=video:/media/2014/08/02/140690733898074100.jpg: %=video:/media/2014/08/02/140690733904091700.jpg:

% $a$を正の定数とする。 半径が $a$ である円 C の外部を, 同じ大きさの円 C$_0$ が滑らずに1周するとき, 円周上の点 P が描く図形を\ommindex{カージオイド}{かーじおいど} または\ommindex{心臓形}{しんぞうけい}という。 円 C が極座標で $(a,0)$ を中心とする半径 $a$ の円であり, 出発点において, 円 C$_0$ の中心が $(3a,0)$, 点 P が $(4a,0)$ の位置にあるとき, 点が P 描くカージオイドの極方程式は % \begin{align*} r=2a(1+\cos{\theta}) \end{align*} % となる。 % %=video:/media/2014/08/02/140690861103644300.jpg: