% 平面または空間の2点 A, B に対して, AからBに向かう線分を\ommindex{有向線分}{ゆうこうせんぶん}ABといい, 点Aを\ommindex{始点}{してん}, 点Bを\ommindex{終点}{しゅうてん}という。 また, 点 A から点 B に向かう方向をこの有向線分の\ommindex{向き}{むき}という。 平行移動によって重ね合わせることができる有向線分を すべて等しいものと考え, これを\ommindex{ベクトル}{べくとる}という。 有向線分ABの表すベクトルを $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ とかく。 ベクトルは, 終点と始点を指定しない場合には太文字 $\vt{a}$ や 矢印をつけた文字 $\overrightarrow{a}$ で表す。 $\vt{a}=\overrightarrow{\mbox{AB}}$ であるとき, 線分 AB の長さを $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ の$\textbf{大きさ}$といい, $\left|\vt{a}\right|$ または $\left|\overrightarrow{\mbox{AB}}\right|$ で表す。 大きさが $1$ のベクトルを\ommindex{単位ベクトル}{たんいべくとる}という。 また, 大きさが $0$ のベクトルを\ommindex{零ベクトル}{ぜろべくとる}といい, $\vt{0}$ で表す。 零ベクトル向きは考えない。 $\vt{a}$ と同じ大きさで, 逆向きのベクトルを $\vt{a}$ の\ommindex{逆ベクトル}{ぎゃくべくとる}といい, $-\vt{a}$ で表す。 したがって, % \begin{align*} \left|\vt{a}\right|=\left|-\vt{a}\right| \end{align*} % である。 また, $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ は同じ大きさで, 逆向きであるから % \begin{align*} \overrightarrow{\mbox{BA}}=-\overrightarrow{\mbox{AB}} \end{align*} % が成り立つ。 %

% 実数 $t$ とベクトル $\vt{a}$ に対して, ベクトル $t\vt{a}$ を次のベクトルとする。 % \begin{enumerate} \item[] $t>0$ のとき, $\vt{a}$ と同じ向きで, 大きさが $\left|\vt{a}\right|$ の $t$ 倍 \item[] $t=0$ のとき, 零ベクトル $\vt{0}$ \item[] $t<0$ のとき, $\vt{a}$ と逆の向きで, 大きさが $\left|\vt{a}\right|$ の $\left|t\right|$ 倍 \end{enumerate} % $t\vt{a}$ を, $\vt{a}$ の\textbf{実数倍}または\textbf{スカラー倍}という。 とくに, % \begin{align*} (-1)\vt{a}=-\vt{a} \end{align*} % である。 $t\vt{a}$ の大きさは $\vt{a}$ の大きさの $\left|t\right|$ 倍であるから, 任意の実数 $t$ に対して % \begin{align*} \left|t\vt{a}\right|=|t|\left|\vt{a}\right| \end{align*} % が成り立つ。 また, 2つのベクトル $\vt{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}}$, $\vt{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}$ の\ommindex{和}{わ}を, 四角形 OACD が平行四辺形になる点を C として, % \begin{align*} \vt{a}+\vt{b} = \overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}} = \overrightarrow{\mbox{OC}} \end{align*} % と定める。 また, \textbf{差} $\vt{a}-\vt{b}$ を, % \begin{align*} \vt{a}-\vt{b}=\vt{a}+(-\vt{b}) \end{align*} % と定める。 点 B から点 A に向かうベクトル $\overrightarrow{\mbox{BA}}$ について, $\overrightarrow{\mbox{BA}}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ であるから次が成り立つ。 % \begin{align*} \overrightarrow{\mbox{BA}} = \overrightarrow{\mbox{OA}}-\overrightarrow{\mbox{OB}} = \vt{a}-\vt{b} \end{align*} %

% $s$, $t$ を実数, $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ をベクトルとするとき, ベクトルの演算について次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 交換法則： $\vt{a}+\vt{b}=\vt{b}+\vt{a}$ \item[(2)] 結合法則： $s(t\vt{a})=(st)\vt{a}$ \item[(3)] 結合法則： $(\vt{a}+\vt{b})+\vt{c}=\vt{a}+(\vt{b}+\vt{c})$ \item[(4)] 分配法則： $t(\vt{a}+\vt{b})=t\vt{a}+t\vt{b}$ \item[(5)] 分配法則： $(s+t)\vt{a}=s\vt{a}+t\vt{a}$ \end{enumerate} % %

% 空間に座標が定められているとき, $x$ 軸, $y$ 軸, $z$ 軸の向きと同じ向きの単位ベクトルを, それぞれ $\vt{i}$, $\vt{j}$, $\vt{k}$ と表す。 $\vt{i}$, $\vt{j}$, $\vt{k}$ を空間の \ommindex{基本ベクトル}{きほんべくとる}という。 原点から点 A$(a_a,a_2,a_3)$ に向かうベクトルを 点 A の\ommindex{位置ベクトル}{いちべくとる}という。 点 A$(a_a,a_2,a_3)$ の位置ベクトル $\vt{a}$ は, 基本ベクトルを用いて, % \begin{align*} \vt{a}=a_1\,\vt{i}+a_2\,\vt{j}+a_3\,\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 $a_1$, $a_2$, $a_3$ をそれぞれ, ベクトル $\vt{a}$ の $x$ 成分, $y$ 成分, $z$ 成分 といい, これらをまとめてベクトル $\vt{a}$ の\ommindex{成分}{せいぶん}という。 $a_1$, $a_2$, $a_3$ を成分とするベクトルを % \begin{align*} \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right), \quad \left(a_1, a_2, a_3\right) \end{align*} % と表すこともある。

% $n$ 個のベクトル $\vt{a}_1$, $\vt{a}_2$, ..., $\vt{a}_n$ に対して, それらの定数倍の和 % \begin{align*} x_1\vt{a}_1+x_2\vt{a}_2+\cdots +x_n\vt{a}_n \end{align*} % を, $\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ の \ommindex{線形結合}{せんけいけつごう}または \ommindex{1次結合}{いちじけつごう}といい, 等式 % \begin{align*} x_1\vt{a}_1+x_2\vt{a}_2+\cdots +x_n\vt{a}_n=\vt{0} \quad \cdots \cdots \maru{1} \end{align*} % を\ommindex{線形関係式}{せんけいかんけいしき}または \ommindex{1次関係式}{いちじかんけいしき}という。 $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ ならば, 線形関係式 \maru{1} は常にに成り立つ。 線形関係式 \maru{1} が $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$ の ときだけしか成り立たないとき, $\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ は \ommindex{線形独立}{せんけいどくりつ}または \ommindex{1次独立}{いちじどくりつ}であるという。 線形独立でないとき, すなわち, $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ のうち少なくとも1つが $0$ でないとき \maru{1} が成り立つとき, $\{\vt{a}_1, \vt{a}_2, ..., \vt{a}_n\}$ は \ommindex{線形従属}{せんけいじゅうぞく}または \ommindex{1次従属}{いちじじゅうぞく}であるという。 %

% ベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき, % \begin{align*} \vt{a}\bdot\vt{b} = \left|\vt{a}\right| \left|\vt{b}\right| \cos{\theta} \end{align*} % をベクトル $\vt{a}$ と $\vt{b}$ の \ommindex{内積}{ないせき}という。 $\vt{a}$, $\vt{b}$ が $\vt{a} = a_x\vt{i} + a_y\vt{j} + a_z\vt{k}$, $\vt{b} = b_x\vt{i} + b_y\vt{j} + b_z\vt{k}$ であるとき, $\vt{a}$, $\vt{b}$ の \ommindex{内積の成分表示}{ないせきのせいぶんひょうじ}は % \begin{align*} \vt{a}\,\bdot\vt{b} = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \end{align*} % となる。 %

% 任意のベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ と, 実数 $k$ に対して, 次の内積の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\vt{a\cdot a}\ge 0$, とくに, $\vt{a\cdot a}=0 \ \Longleftrightarrow \ \vt{a}=\vt{0}$ \item[(2)] $\vt{a\cdot b} = \vt{b\cdot a}$ \item[(3)] $\left(k\vt{a}\right)\,\bdot\,\vt{b} = \vt{a}\,\bdot\left(k\vt{b}\right) = k\left(\vt{a}\,\bdot\,\vt{b}\right)$ \item[(4)] $\vt{a}\,\bdot\, \left(\vt{b}+\vt{c}\right) = \vt{a}\,\bdot\,\vt{b} + \vt{a}\,\bdot\,\vt{c}$ \end{enumerate} % %

% ベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき, 次の性質をもつ ベクトル $\vt{a}\times\vt{b}$ を, ベクトル $\vt{a}$ と $\vt{b}$ の \ommindex{外積}{がいせき}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\left|\vt{a}\times\vt{b}\right| = \left|\vt{a}\right| \left|\vt{b}\right| \left|\sin{\theta}\right|$ \item[(2)] $(\vt{a}\times\vt{b})\,\bdot\,\vt{a}=0$, $\quad$ $(\vt{a}\times\vt{b})\,\bdot\,\vt{b}=0$ \item[(3)] $\vt{a}\times\vt{b} \ne\vt{0}$ のとき, $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{a}\times\vt{b}$ は この順で右手系をなす。 \end{enumerate} % $\vt{a}$, $\vt{b}$ が $\vt{a} = a_x\vt{i} + a_y\vt{j} + a_z\vt{k}$, $\vt{b} = b_x\vt{i} + b_y\vt{j} + b_z\vt{k}$ であるとき, $\vt{a}$, $\vt{b}$ の \ommindex{外積の成分表示}{がいせきのせいぶんひょうじ}は % \begin{align*} \vt{a}\times\vt{b} &= \left|\begin{array}{ccc} \vt{i} & a_x & b_x \\ \vt{j} & a_y & b_y \\ \vt{k} & a_z & b_z \end{array}\right| \\ &= \left|\begin{array}{cc} a_y & b_y \\ a_z & b_z\end{array}\right| \vt{i} - \left|\begin{array}{cc} a_x & b_x \\ a_z & b_z\end{array}\right| \vt{j} + \left|\begin{array}{cc} a_x & b_x \\ a_y & b_y\end{array}\right| \vt{k} \end{align*} % となる。 %

% 任意のベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ と, 実数 $k$ に対して, 次の外積の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\vt{a}\times\vt{b} =\vt{0} \ \Longleftrightarrow \ \vt{a}\,/\!/\,\vt{b}$ \item[(2)] $\vt{a}\times\vt{b} = -\vt{b}\times\vt{a}$ \item[(3)] $\left(k\vt{a}\right)\times\vt{b} = \vt{a}\times\left(k\vt{b}\right) = k\left( \vt{a}\times\vt{b} \right)$ \item[(4)] $\vt{a}\times \left(\vt{b}+\vt{c}\right) = \vt{a}\times\vt{b} + \vt{a}\times\vt{c}$ \end{enumerate} %

% 座標平面上の点 P に対して, ベクトル $\vt{p}=\overrightarrow{\text{OP}}$ を, 点 P の\ommindex{位置ベクトル}{いちべくとる}という。 平面上の曲線 C 上の点 P の位置ベクトルが満たす方程式を 曲線 C の\ommindex{ベクトル方程式}{べくとるほうていしき}という。 %

% \begin{enumerate} \item[(1)] 直線のベクトル方程式： 点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とし, $\vt{n}$ を $\vt{0}$ でないベクトルとする。 このとき, 方程式 % \begin{align*} \vt{n}\bdot(\vt{p}-\vt{a})=0 \end{align*} % は, 点 A を通り, $\vt{n}$ に垂直な直線のベクトル方程式である。 \item[(2)] 円のベクトル方程式： 点 C の位置ベクトルを $\vt{c}$ とし, $r$ を正の定数とする。 このとき, 方程式 % \begin{align*} (\vt{p}-\vt{c})\bdot(\vt{p}-\vt{c})=r^2 \end{align*} % は, 点 C を中心とする半径 $r$ の円のベクトル方程式である。 \item[(3)] 円のベクトル方程式： 点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とし, 点 B の位置ベクトルを $\vt{b}$ とする。 このとき, 方程式 % \begin{align*} (\vt{p}-\vt{a})\bdot(\vt{p}-\vt{b})=0 \end{align*} % は, 点 A と点 B を直径の両端とする円のベクトル方程式である。この方程式から, 座標平面上の２点 A$(a_1, a_2)$, B$(b_1, b_2)$ を直径の両端とする円の方程式 % \begin{align*} (x-a_1)(x-b_1)+(y-a_2)(y-b_2)=0 \end{align*} % が得られる。 \end{enumerate} %

% 集合 $V$ に和と実数倍が定義されていて, $V$ の任意の要素 $\vt{a}$, $\vt{b}$, $\vt{c}$ と, 任意の実数 $h$, $k$ に対して次が成り立つとき, $V$ を\textbf{ベクトル空間}または\textbf{線形空間}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 交換法則： $\vt{a}+\vt{b}=\vt{b}+\vt{a}$ \item[(2)] 結合法則： $(\vt{a}+\vt{b})+\vt{c}=\vt{a}+(\vt{b}+\vt{c}), \quad (hk)\vt{a}=h(k\vt{a})$ \item[(3)] 分配法則： $h(\vt{a}+\vt{b})=h\vt{a}+h\vt{b}, \quad (h+k)\vt{a}=h\vt{a}+k\vt{a}$ \item[(4)] $1\vt{a}=\vt{a}$ \item[(5)] 零ベクトルと呼ばれる要素$\vt{0}$ がただ1つ存在して, $\vt{a}+\vt{0}=\vt{a}$ \item[(6)] $\vt{a}$ の逆ベクトルと呼ばれる要素$-\vt{a}$ がただ1つ存在して, $\vt{a}+(\vt{-a})=\vt{0}$ \end{enumerate} % %

% ベクトル空間 $V$ について, 次の性質を満たすベクトルの組 $(\vt{e}_1,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n)$ を $V$ の\ommindex{基底}{きてい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 任意のベクトル $\vt{v}$ は $\vt{e}_1$, $\vt{e}_2$, \ldots, $\vt{e}_n$ の1次結合として表すことができる。 \item[(2)] $\vt{e}_1$, $\vt{e}_2$, \ldots, $\vt{e}_n$ は1次独立である。 \end{enumerate} % 基底を作っているベクトルの個数を, ベクトル空間 $V$ の\ommindex{次元}{じげん}という。 ここでは基底を $\mathbb{E}=(\vt{e}_1,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n)$ などと 表す。 ベクトル $\vt{v}$ が % \begin{align*} \vt{v}=v_1\vt{e}_1+v_2\vt{e}_2+\cdots +v_n\vt{e}_n \end{align*} % と表されているとき, $n$ 次元列ベクトル % \begin{align*} \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right) \end{align*} % を $\vt{v}$ の\ommindex{成分}という。 %

% ここでは基底を $\mathbb{E}$ などの文字で表す。 $\mathbb{E}=(\vt{e}_1,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n)$ を ベクトル空間の基底であるとする。 この基底を別の基底 $\mathbb{F}=(\vt{f}_1,\vt{f}_2,\ldots ,\vt{f}_n)$ に 取り替えることを\ommindex{基底の変換}{きていのへんかん}という。 基底 $\mathbb{F}$ の 各ベクトルは $\mathbb{E}=(\vt{e}_1,\,\vt{e}_2,\,\ldots,\vt{e}_n)$ の 1次結合によって % \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} \vt{f}_1=\vt{e}_1p_{11}+\vt{e}_2p_{21}+\cdots+\vt{e}_np_{n1} \\ \vt{f}_2=\vt{e}_1p_{12}+\vt{e}_2p_{22}+\cdots+\vt{e}_np_{n2} \\ \vdots \\ \vt{f}_n=\vt{e}_1p_{1n}+\vt{e}_2p_{2n}+\cdots+\vt{e}_np_{nn} \end{array}\right. \end{eqnarray*} % と表すことができる。 このとき, 行列 % \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{array}\right) \end{eqnarray*} % を基底 $\mathbb{E}$ から基底 $\mathbb{F}$ への, \ommindex{基底の変換行列}{きていのへんかんぎょうれつ}という。

% ベクトル空間 $V$ の部分集合 $W$ が, $V$ の演算によって, 条件 % \begin{align*} k\in\mathbb{R}, \ \vt{p},\,\vt{q}\in W \quad \mbox{ならば} \quad k\vt{p}\in W, \ \vt{p}+\vt{q}\in W \end{align*} % を満たすとき, $W$ は $V$ の\ommindex{部分空間}{ぶぶんくうかん}であるという。 部分空間とは, それ自身がベクトル空間となっているような部分集合のことである。 %