% 数を長方形に並べ $(\quad )$ でくくったものを \ommindex{行列}{ぎょうれつ}といい, 行列に含まれる1つ1つの数をその\ommindex{成分}{せいぶん}という。 行列の1つの横並びの数の組を\ommindex{行}{ぎょう}, 1つの縦並びの数の組を\ommindex{列}{れつ}という。 次のように, $m$ 個の行と $n$ 個の列で構成されている行列 % \begin{align*} A = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \quad \cdots \cdots \maru{1} \end{align*} % を $m\times n$ \ommindex{型}{かた}行列という。 行の数と列の数が同じ行列を\ommindex{正方行列}{せいほうぎょうれつ}という。 とくに, $n\times n$ 型行列を $n$ 次正方行列という。 このとき, $n$ を $A$ の\ommindex{次数}{じすう}という。 $1\times n$ 型行列を\ommindex{行ベクトル}{ぎょうべくとる}といい, 行列 $A$ の, 上から $i$ 番目の行を第 $i$ 行ベクトルという。 また, $m\times 1$ 型行列を\ommindex{列ベクトル}{れつべくとる}といい, 行列 $A$ の, 左から $j$ 番目の列を第 $j$ 列ベクトルという。 % \begin{align*} \mbox{$A$ の第 $i$ 行ベクトル：} & \left(\begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{array}\right) \\ \mbox{$A$ の第 $j$ 列ベクトル：} & \left(\begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array}\right) \end{align*} % 第 $i$ 行ベクトルと第 $j$ 列ベクトルにともに含まれる成分 $a_{ij}$ を, $A$ の $(i,j)$ 成分という。 式 \maru{1} を $A=\left(a_{ij}\right)$ と表す場合もある。 成分がすべて $0$ である行列を\ommindex{零行列}{ぜろぎょうれつ}といい, $O$ と表す。 \par 正方行列の左上から右下にかけての対角線上にある成分 $a_{ii}$ を, $A=\left(a_{ij}\right)$ の \ommindex{対角成分}{たいかくせいぶん}という。 対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を \ommindex{対角行列}{たいかくぎょうれつ}といい, 対角成分が $1$ である対角行列を \ommindex{単位行列}{たんいぎょうれつ}という。 単位行列は $E$ または $I$ で表すことが多い。 次数 $n$ を明記したいときには $E_n$ または $I_n$ と表す。 次の行列はそれぞれ2次単位行列, 3次単位行列である。 % \begin{align*} E_2 = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad E_3 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} % %

% 行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ と実数 $k$ に対して, $A$ の\ommindex{実数倍}{じっすうばい}を % \begin{align*} k \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{array}\right) \end{align*} % と定める。 \par 2つの行列 $A=\left(a_{ij}\right)$, $B=\left(b_{ij}\right)$ がともに $m\times n$ 型行列であるとき, $A$, $B$ の\ommindex{和}{わ} $A+B$, \ommindex{差}{さ} $A-B$ を, % \begin{align*} & \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \pm \left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array}\right) \\ &= \left(\begin{array}{cccc} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & \cdots & a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} & \cdots & a_{2n}\pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}\pm b_{m1} & a_{m2}\pm b_{m2} & \cdots & a_{mn}\pm b_{mn} \end{array}\right) \\ & \quad (\mbox{復号同順}) \end{align*} % と定める。 型の異なる2つの行列に対しては, 和, 差は定義できない。 \par 行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ が $m\times k$ 型, $B=\left(b_{ij}\right)$ が $k\times n$ 型行列であるとき, $A$, $B$ の\ommindex{積}{せき} $AB$ は, 第 $(i,j)$ 成分 $(AB)_{ij}$ が % \begin{align*} (AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ik}b_{kj} \end{align*} % で定められる行列とする。 $A$ の列数と $B$ の行数が等しくないとき, 積 $AB$ は定義できない。 %

% $m\times n$ 行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ に対して, 第 $(i,j)$ 成分が $a_{ji}$ であるような $n\times m$ 行列を, 行列 $A$ の\ommindex{転置行列}{てんちぎょうれつ}といい, ${}^t\!A$ と表す。 正方行列の転置行列は正方行列, 列ベクトルの転置行列は行ベクトルである。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)$ のとき　 ${}^t\!A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}\right)$ % \item[(2)] $B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{array}\right)$ のとき　 ${}^tB = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{array}\right) $ % \item[(3)] $\vt{x}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$ のとき　 ${}^t\vt{x} = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \end{array}\right) $ % \end{enumerate} % $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 5 & 3 \end{array}\right)$ とするとき, % \begin{align*} {}^t\!A=A \end{align*} % である。 性質 ${}^t\!A=A$ を満たす行列を \ommindex{対称行列}{たいしょうぎょうれつ}という。

% 任意の行列 $A$, $B$, $C$ と, 実数 $k$, $l$ に対して, 次の行列の演算の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $A+B=B+A$ \item[(2)] $k(A+B)=kA+kB$ \item[(3)] $A(B+C)=AB+AC$ \item[(4)] $(AB)C=A(BC)$ \item[(5)] $(kA)B=A(kB)=k(AB)$ \item[(6)] $0A=O, \quad O+A=A+O=A$ \item[(7)] $EA=A, \quad AE=A$ \item[(8)] ${}^t(AB)={}^tB\,{}^t\!A$ \end{enumerate} %

% 正方行列 $A$ に対して % \begin{align*} AX=XA=E \quad (\mbox{$E$ は単位行列}) \quad \cdots \cdots \maru{2} \end{align*} % となる行列 $X$ が存在するとき, $A$ は\ommindex{正則}{せいそく}であるという。 $A$ が正則であるとき, \maru{2} を満たす $X$ を $A$ の \ommindex{逆行列}{ぎゃくぎょうれつ}といい, $A^{-1}$ で表す。 $A$, $B$ が正則であるとき, 積 $AB$ も正則で, % \begin{align*} (AB)^{-1}=B^{-1}\,A^{-1} \end{align*} % が成り立つ。

% $1$ から $n$ までの自然数 $\{1,2,3,\ldots,n\}$ を 並べ替えて $(i,j,\ldots ,k)$ と表したものを, \ommindex{順列}{じゅんれつ}という。 とくに $(1,2,\ldots ,n)$ を \ommindex{自然な順列}{しぜんなじゅんれつ}という。 順列 $\sigma=(i,j,\ldots ,k)$ のうちの 2つの数を並べ替える操作を\ommindex{互換}{ごかん}という。 順列 $\sigma$ は何回かの互換を繰り返して 自然な順列にすることができる。 このときに必要な互換の回数を $k$ とするとき, $(-1)^k$ を\ommindex{順列の符号}{じゅんれつのふごう}といい, $\sgn{\sigma}$ と表す。 % $\sigma=(i,j,\ldots n)$ を $\{1,2,3,\ldots,n\}$ の順列とする。 $n$ 次正方行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ の \ommindex{行列式}{ぎょうれつしき} $\det(A)$ を次のように定義する。 % \begin{eqnarray*} \det(A)=\sum_{\sigma}\sgn{\sigma}\cdot a_{1i}a_{2j}\cdots a_{nj} \end{eqnarray*} % ここで総和はすべての順列にわたるものとする。 行列 $A$ の行列式は % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|, \quad \left|A\right|, \quad \det(A), \quad \det\left(\vt{a},\vt{b},\vt{c}\right) \end{eqnarray*} % などとも表す。 $A$ が正方行列でないとき, $A$ の行列式は定義しない。 この節では行列はすべて正方行列であるとする。 2次, 3次正方行列の行列式について次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = \begin{array}{l} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{array} }$ \item[(2)] $\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & b_{32} & c_{33} \end{array}\right| = \begin{array}{l} a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \vspace{0.2em} \\ -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \end{array} }$ \end{enumerate} %

% 正方行列 $A$ の行列式は次の性質を持つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 1 つの列または行から定数をくくり出すことができる。 % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccc} k\,a_1 & b_1 & c_1 \\ k\,a_2 & b_2 & c_2 \\ k\,a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| = k\, \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{eqnarray*} % \item[(2)] 1 つの列または行が 2 つのベクトルの和であるとき, それぞれのベクトルを列ベクトルとする行列式の和に分解できる。 % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccc} a_1+a'_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+a'_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+a'_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} a'_1 & b_1 & c_1 \\ a'_2 & b_2 & c_2 \\ a'_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{eqnarray*} % % \item[(3)] 2 つの列または行を交換すると符号が変わる。 % \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccc} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_2 \\ b_3 & a_3 & c_3 \end{array}\right| = - \left|\begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{eqnarray*} % \item[(4)] $(1,1)$ 成分以外の第1列または第1行の成分が $0$ のとき, $(1,1)$ 成分と, 第1行, 第1列を取り除いた小行列の行列式との積に等しい。 とくに, 対角行列の行列式は対角成分の積に等しい。 % \begin{align*} \left|\begin{array}{ccc} a & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2 & c_2 \\ 0 & b_3 & c_3 \end{array}\right| = a\,\left|\begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array}\right| \end{align*} % \end{enumerate} % % さらに, 行列式について次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 行列 $A$ の行列式と, $A$ の転置行列の行列式は等しい。 $\left|{}^t\!A\right|=\left|A\right|$ % \item[(2)] 行列の積の行列式は, それぞれの行列の行列式の積に等しい。 % \begin{align*} \left|AB\right|=\left|A\right|\,\left|B\right| \end{align*} % \end{enumerate} % % 次の性質は, 行列が正則かどうか調べるう上で重要である。 % \begin{align*} \mbox{$A$ が正則} \iff |A|\ne 0 \end{align*} %

$A=\left(a_{ij}\right)$ を $n$ 次正方行列とする。 $n-1$ 次行列 $A_{ij}$ を, 行列 $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いてできる小行列とするとき, % \begin{eqnarray*} \widetilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\left|A_{ij}\right| \end{eqnarray*} % を, $A$ の $(i,j)$ \ommindex{余因子}{よいんし}という。 行列式は次のように余因子を用いて表すことができる。 これを行列式の\ommindex{余因子展開}{よいんしてんかい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 第 $j$ 列についての余因子展開, % \begin{align*} \left|A\right| = a_{1j}\widetilde{a}_{1j} + a_{2j}\widetilde{a}_{2j} + \cdots + a_{nj}\widetilde{a}_{nj} \end{align*} % \item[(2)] 第 $i$ 行についての余因子展開, % \begin{align*} \left|A\right| = a_{i1}\widetilde{a}_{i1} + a_{i2}\widetilde{a}_{i2} + \cdots + a_{i1}\widetilde{a}_{in} \end{align*} % \end{enumerate}

$n$ 次正方行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ の $(j,i)$ 余因子 $\widetilde{a}_{ji}$ を $(i,j)$ 成分とする 行列 $\widetilde{A}=\left(\widetilde{a}_{ji}\right)$ を $A$ の\ommindex{余因子行列}{よいんしぎょうれつ}という。 余因子行列について, % \begin{align*} A\widetilde{A}=\widetilde{A}A=|A|E \end{align*} % が成り立つ。 とくに, $A$ が正則であるとき, $A$ の逆行列は次のようになる。 % \begin{align*} A^{-1}=\frac{1}{|A|}\widetilde{A} \end{align*} %

$n$ 個の方程式からなる $n$ 元連立1次方程式 % $$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & p_1 \\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & p_2 \\ &&&& \vdots &&&& \\ a_{n1}x_1 & + & a_{n2}x_2 & + & \cdots & + & a_{nn}x_n & = & p_n \end{array} \right. $$ % を行列を使って % \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & \vdots && \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p_{1} \\ p_{2} \\ \vdots \\ p_{n} \end{array} \right) \end{eqnarray*} % と表す。 この式を簡単に % \begin{align*} A\vt{x}=\vt{p} \end{align*} % としたとき, $A$ を\ommindex{係数行列}{けいすうぎょうれつ}, $\vt{x}$ を\ommindex{未知数ベクトル}{みちすうべくとる}, $\vt{p}$ を\ommindex{定数項ベクトル}{ていすうこうべくとる}という。 このとき, 係数行列 $A$ が正則ならば (i) の解は一意的に定まり, その解は % \begin{eqnarray*} x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|} \end{eqnarray*} % で与えられる。 ただし $A_i$ は $A$ の第 $i$ 列を定数項ベクトル $\vt{p}$ で 置き換えた行列である。 これを\ommindex{クラメルの公式}{くらめるのこうしき}という。

% 行列に対する次の変形を \ommindex{行の基本変形}{ぎょうのきほんへんけい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 2 つの行を入れ替える。 \item[(2)] 1 つの行を $k$ 倍する。 ただし $k\ne 0$ とする。 \item[(3)] ある行に他の行の $t$ 倍を加える。 \end{enumerate} % また, 次の変形を\ommindex{列の基本変形}{れつのきほんへんけい}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 2 つの列を入れ替える。 \item[(2)] 1 つの列を $k$ 倍する。 ただし $k\ne 0$ とする。 \item[(3)] ある列に他の列の $t$ 倍を加える。 \end{enumerate} %

% 単位行列に１回だけ基本変形を施して得られる行列を \ommindex{基本行列}{きほんぎょうれつ}という。 % 3 次の基本行列には次のようなものである。 % \begin{eqnarray*} F_1 &= \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ F_2 &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ F_3 &= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ t & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*} % すべての行列は, 何回かの基本変形を行って, 次のような形に変形することができる。 ただし, $E_r$ は $r$ 次単位行列, $O_{k,l}$ は $k\times l$ 型零行列である。 行列を区切る線は, 見やすくするために便宜上入れたものであり, 意味はない。 % \begin{align*} \left(\begin{array}{c|c} E_r & O_{r,n-r} \\ \hline O_{m-r,r} & O_{m-r,n-r} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) \end{align*} %

% 基本変形と基本行列の間には次の関係がある。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 行列 $A$ に1回だけ行の基本変形を施して $B$ となるとき, % \begin{align*} FA=B \end{align*} % となる基本行列 $F$ がある。 \item[(2)] また, 行列 $A$ に1回だけ列の基本変形を施して $B$ となるとき, % \begin{align*} AF=B \end{align*} % となる基本行列 $F$ がある。 \end{enumerate} % 基本行列は正則であり, 正方行列の正則性は基本変形によって変化しない。 すなわち, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \mbox{$A$ は正則} \iff \mbox{$A$ は単位行列に基本変形できる} \end{align*} %