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数学・工学事典 / 数学 / 線形代数 / 行列の応用

線形写像

線形写像

% $S$, $T$ を 2 つの集合とする。 $S$ の各要素 $x$ に $T$ の要素 $y=\varphi(x)$ をただひとつ 対応させる規則 $\varphi$ を $S$ から $T$ への \ommindex{写像}{しゃぞう}という。 $\varphi$ が $S$ から $T$ への写像であるということを % \begin{eqnarray*} \varphi:S \to T \end{eqnarray*} % と表す。 このとき次のように定める。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $T$ のすべての要素 $y$ に対して $y=\varphi(x)$ となる $S$ の要素 $x$ が 存在するとき, $\varphi$ は\ommindex{全射}{ぜんしゃ} または\ommindex{上への写像}{うえへのしゃぞう}であるという。 \item[(2)] $S$ の任意の異なる要素 $x_1$, $x_2$ に対して, $\varphi(x_1)$ と $\varphi(x_2)$ が異なるとき, $\varphi$ は\ommindex{単射}{たんしゃ} または\ommindex{1対1の写像}{いちたいいちのしゃぞう}であるという。 \end{enumerate} % $\varphi$ が全単射であるとき, $T$ の任意の要素 $\vt{y}$ に対して $\varphi(\vt{x})=\vt{y}$ となる $S$ の要素 $\vt{x}$ がただ1つだけ存在する。 このとき, $\vt{y}$ に $\vt{x}$ を対応させる写像 % \begin{align*} \varphi^{-1}:T \to S \end{align*} % を $\varphi$ の\ommindex{逆写像}{ぎゃくしゃぞう}といい, $\vt{x}$ を $\vt{y}$ の\ommindex{逆像}{ぎゃくぞう}という。 ベクトル空間 $\vt{V}$ から $\vt{W}$ への写像 $\varphi:\vt{V}\to\vt{W}$ が 任意の実数 $\alpha$ と, $\vt{V}$ の任意の要素 $\vt{x}$, $\vt{x}_1$, $\vt{x}_3$ について, 次の性質を満たすとき, $\varphi$ は\ommindex{線形写像}{せんけいしゃぞう}であるという。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\varphi(\alpha\,\vt{x})=\alpha\,\varphi(\vt{x})$ \item[(2)] $\varphi(\vt{x}_1+\vt{x}_2)=\varphi(\vt{x}_1)+\varphi(\vt{x}_2)$ \end{enumerate} %

線形写像の表現行列

% $\vt{V}$ は $\left(\vt{e}_1,\,\vt{e}_2,\ldots ,\vt{e}_n\right)$ を 基底とする $n$ 次元ベクトル空間, $\vt{W}$ は $\left(\vt{f}_1,\,\vt{f}_2,\,\ldots ,\vt{f}_m\right)$ を 基底とする $m$ 次元ベクトル空間であるとする。 $\varphi\,:\, \vt{V}\to\vt{W}$ を $V$ から $W$ への線形写像であるとする。 このとき, 各 $i$ $(1\le i\le n)$ について, % \begin{eqnarray*} \varphi(\vt{e}_i) = a_{1i}\vt{f}_1+a_{2i}\vt{f}_2+\cdots +a_{mi}\vt{f}_m \end{eqnarray*} % と表現されているとする。 このとき, 行列 % \begin{align*} A_{\varphi} = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \end{align*} % を線形写像 $\varphi$ の \ommindex{表現行列}{ひょうげんぎょうれつ}という。 このとき, 2つの基底の間の関係式は % \begin{align*} & \left( \varphi(\vt{e}_1),\,\varphi(\vt{e}_2), \ldots ,\varphi(\vt{e}_n) \right) \\ &= \left(\vt{f}_1,\,\vt{f}_2,\,\ldots ,\vt{f}_m\right) \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \end{align*} % と表される。 ここで, 基底およびその像を % \begin{align*} \mathbb{E} &= \left(\vt{e}_1,\vt{e}_2, \ldots ,\vt{e}_n\right) \\ \mathbb{F} &= \left(\vt{f}_1,\,\vt{f}_2,\,\ldots ,\vt{f}_m\right) \\ \varphi(\mathbb{E}) &= \left( \varphi(\vt{e}_1),\,\varphi(\vt{e}_2), \ldots ,\varphi(\vt{e}_n) \right) \end{align*} % と表すことにすれば, 上の関係式は下のように表される。 % \begin{eqnarray*} \varphi(\mathbb{E}) = \mathbb{F}A_{\varphi} \end{eqnarray*} % %

線形写像の核と像

線形写像 $\varphi\,:{V}\to{W}$ に対して, $V$ の部分空間 $\ker{\varphi}$ を % \begin{align*} \ker{\varphi} = \left\{ \vt{x}\in {V} \,|\, \varphi(\vt{x})=\vt{0} \right\} \end{align*} % と定める。 $\ker{\varphi}$ を線形写像 $\varphi$ の\ommindex{核}{かく}という。 また, $W$ の部分空間 $\im{\varphi}$ を % \begin{align*} \im{\varphi} = \left\{ \varphi(\vt{x})\in {W} \,|\, \vt{x} \in {V} \right\} \end{align*} % と定める。 $\ker{\varphi}$ を線形写像 $\varphi$ の\ommindex{像}{ぞう}という。 %=image:/media/2014/08/02/140697685916821500.png: このとき, 次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 線形写像 $\varphi$ が単射であることと, $\ker{\varphi}=\{\vt{0}\}$ であることは同値である。 \item[(2)] 線形写像 $\varphi$ が全射であることと, $\im{\varphi}=W$ であることは同値である。 \end{enumerate} %

線形変換

線形変換

% ベクトル空間 $V$ から $V$ への線形写像 $\varphi$ を, $V$ 上の\ommindex{線形変換}{せんけいへんかん}という。 任意の $\vt{x}$ に対して, $\vt{x}$ 自身を対応させる線形変換 $I$ を \ommindex{恒等変換}{こうとうへんかん}という。 $n$ 次元ベクトル空間 $V$ の基底を定めるとき, この基底に関する $\varphi$ の表現行列 $A$ は $n$ 次正方行列になる。 $\varphi$ が全単射であるための必要十分条件は, 表現行列 $A$ が正則となることである。 とくに, 恒等変換の表現行列は単位行列となる。 %

合成変換と逆変換

% $\varphi$, $\psi$ が $V$ 上の線形変換であるとき, $\vt{x}$ に対して $\psi(\varphi(\vt{x})$ を対応させる線形変換を, $\varphi$ と $\psi$ の\ommindex{合成変換}{ごうせいへんかん}といい, $\psi\circ\varphi$ と表す。 すなわち, % \begin{align*} \psi\circ\varphi(\vt{x})=\psi(\varphi(\vt{x}) \end{align*} % である。 $\varphi$ の表現行列を $A$, $\psi$ の表現行列を $B$ とするとき, 合成変換 $\psi\circ\varphi$ の表現行列は $BA$ である。 $V$ 上の線形変換 $\varphi$ が全単射であるとき, 任意の $\vt{x}\in V$ について % \begin{align*} \psi\circ\varphi(\vt{x}) =\varphi\circ\psi(\vt{x}) =\vt{x} \end{align*} % を満たす線形変換 $\psi$ がただ1つ存在する。 これを $\varphi$ の\ommindex{逆変換}{ぎゃくへんかん}といい, $\psi=\varphi^{-1}$ と表す。 $\varphi$ が全単射であれば $\varphi$ の表現行列 $A$ は正則で, 逆変換 $\varphi^{-1}$ の表現行列は $A^{-1}$ である。 %

直交変換

% 正方行列 $A$ が % \begin{align*} A^{-1}={}^tA \end{align*} % を満たすとき, $A$ を\ommindex{直交行列}{ちょっこうぎょうれつ}という。 直交行列を表現行列とする線形変換 $\varphi$ を \ommindex{直交変換}{ちょっこうへんかん}という。 直交変換は内積を保つ。 すなわち, 任意のベクトル $\vt{x}$ について, % \begin{align*} \varphi(\vt{x})\boldsymbol{\cdot}\varphi(\vt{y}) = \vt{x}\boldsymbol{\cdot}\vt{y} \end{align*} % が成り立つ。 %

固有値

正方行列の対角化

% $\mathbb{E}$, $\widetilde{\mathbb{E}}$ をベクトル空間 $V$ の2つの基底とし, $\mathbb{E}$ から $\widetilde{\mathbb{E}}$ への 基底の変換行列を $P$ とする。 また, $\varphi$ を $V$ の線形変換とし, 基底 $\mathbb{E}$ に関する表現行列を $A$ とする。 このとき, を $V$ の線形変換とし, 基底 $\mathbb{E}$ に関する $\varphi$ の表現行列を $B$ とすれば, % \begin{align*} B=P^{-1}AP \end{align*} % が成り立つ。 一般に, 正方行列 $A$ に対して, $B=P^{-1}AP$ が対角行列になるような 正則行列 $P$ が存在するとき, $A$ は\ommindex{対角化可能}{たいかくかかのう}であるといい, そのとき, 正則行列 $P$ を $A$ の\ommindex{対角化行列}{たいかくかぎょうれつ}という。 対角化行列 $P$ および対角行列 $B$ を求めることを, 行列 $A$ を\ommindex{対角化}{たいかくか}するという。 対角化するということは, 線形変換 $\varphi$ の表現行列が対角行列となるような 基底を求めることでもある。 すべての行列が対角化可能であるわけではない。 しかし, 対称行列 $A$ は対角化可能で, 対角化行列として直交行列を選ぶことができる。 %

固有値と固有ベクトル

% $n$ 次正方行列 $A$ に対して % \begin{align*} A\vt{x}=\lambda\vt{x}, \quad \vt{x}\ne \vt{0} \end{align*} % を満たすスカラー $\lambda$ とベクトル $\vt{x}$ があるとき, $\lambda$ を $A$ の\ommindex{固有値}{こゆうち}, $\vt{x}$ を固有値 $\lambda$ に属する \ommindex{固有ベクトル}{こゆうべくとる}という。 $\lambda$ が $A$ の固有値であるとき, % \begin{align*} \{\vt{x}\,|\, A\vt{x}=\lambda\vt{x}\} \end{align*} % はベクトル空間となる。 これを固有値 $\lambda$ に属する \ommindex{固有空間}{こゆうくうかん}という。 固有空間は, 固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトル全体に 零ベクトルを加えたものである。 条件 \maru{1} を満たす $\vt{x}$ は, 斉次連立1次方程式 % \begin{align*} (\lambda E-A)\vt{x}=\vt{0} \end{align*} % の自明でない解である。 自明でない解が存在するための必要十分条件は % \begin{align*} \left|\lambda E-A\right|=0 \end{align*} % となることである。 この方程式を $A$ の \ommindex{固有方程式}{こゆうほうていしき}という。 行列 $A$ が $n$ 次正方行列であるとき, 固有方程式は $\lambda$ についての $n$ 次方程式となるから, 重複も含めて $n$ 個の解 $\lambda_i$ $(i=1,2,\cdots, k)$ がある。 $\vt{p}_i$ を固有値 $\lambda_i$ に属する固有ベクトルとする。 このとき, $\{\vt{p}_1, \vt{p}_2,\ldots, \vt{p}_n\}$ が線形独立であるように 選ぶことができれば, % \begin{align*} P=\left(\begin{array}{cccc} \vt{p}_1 & \vt{p}_2 & \ldots & \vt{p}_n \end{array}\right) \end{align*} % とおくと, % \begin{align*} P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{array}\right) \end{align*} % となる。 したがって, 行列 $A$ は対角化可能である。 とくに, $A$ が実対称行列であるとき, $A$ は対角化可能であり, $P$ として直交行列を選ぶことができる。 %

ジョルダンの標準形