変数分離形
%
1階微分方程式のうち,
$\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$ として変形すると
%
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
\end{align*}
%
の形となる微分方程式を
\ommindex{変数分離形の微分方程式}{へんすうぶんりけいのびぶんほうていしき}
という。
これを
%
\begin{align*}
\frac{1}{g(y)}\,dy=f(x)\,dx
\end{align*}
%
と変形することを変数を分離するといい,
これを積分すれば
%
\begin{align*}
\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx
\end{align*}
%
となる。
両辺の積分を計算すれば解が得られる。
%
同次形
%
1階微分方程式のうち,
%
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
%
の形となる微分方程式を
\ommindex{同次形の微分方程式}{どうじけいのびぶんほうていしき}という。
このとき
%
\begin{align*}
u=\frac{y}{x}
\end{align*}
%
とおくと,
$y=xu$ となるから,
この両辺を $x$ で微分すると
%
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}
\end{align*}
%
となる。
これを与えられた微分方程式に代入すると
%
\begin{align*}
u+x\frac{du}{dx}=f(u)
\end{align*}
%
となるから,
%
\begin{align*}
\frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}
\end{align*}
%
とすれば,
$u$ に関する変数分離形の微分方程式となる。
これから $u$ を求め,
$y=xu$ に代入すれば解が得られる。
%
完全微分方程式
%
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ の形の微分方程式を
%
\begin{align*}
f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=0 \quad \cdots \cdots \maru{1}
\end{align*}
%
とかく。
このとき,
%
\begin{align*}
f(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x},
\quad
g(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}
\quad \cdots \cdots \maru{2}
\end{align*}
%
を同時に満たす関数 $u(x,y)$ があれば,
$C$ を任意定数として,
%
\begin{align*}
u(x,y)=C
\quad \cdots \cdots \maru{3}
\end{align*}
%
が与えられた微分方程式の解である
(\maru{1} は \maru{3} の全微分であることに注意)。
このような関数 $u(x,y)$ が存在するための条件は,
%
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y}
=
\frac{\partial g}{\partial x}
\quad \cdots \cdots \maru{4}
\end{align*}
%
を満たすことである。
\maru{4} の条件を満たすとき,
微分方程式 \maru{1} を
\ommindex{完全微分方程式}{かんぜんびぶんほうていしき}という。
条件 \maru{4} が成り立つとき,
$u(x,y)$ を求める。
\maru{2} の $\displaystyle f(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}$ を
$x$ について積分すれば
%
\begin{align*}
u(x,y)=\int f(x,y)\,dx+h(y)
\end{align*}
%
となる。
これを \maru{2} の第2式に代入すれば
%
\begin{align*}
g(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\int f(x,y)\,dx+h'(y)
\quad \cdots \cdots \maru{5}
\end{align*}
%
となるから,
これを
%
\begin{align*}
h'(y)=g(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int f(x,y)\,dx
\end{align*}
%
と変形し,
$y$ について積分して $h(y)$ を求め,
\maru{5} に代入すれば $u(x,y)$ を求めることができる。