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数学・工学事典 / 数学 / 基礎数学 / 三角比
三角比
三角比
%
$\bigtriangleup\text{ABC}$ は,
$\angle\text{C}$ を直角とする直角三角形であるとする。
$\angle\text{A}=\theta$ とし,
$\text{BC}=a$,
$\text{CA}=b$,
$\text{AB}=c$ とする。
このとき,
角 $\theta$ の\ommindex{正弦}{せいげん},
\ommindex{余弦}{よげん},
\ommindex{正接}{せいせつ}を,
それぞれ
%
\begin{align*}
\sin{\theta}=\frac{a}{c}
, \quad
\cos{\theta}=\frac{b}{c}
, \quad
\tan{\theta}=\frac{b}{a}
\end{align*}
%
と定める。
$\sin{\theta}$,
$\cos{\theta}$,
$\tan{\theta}$ を総称して\ommindex{三角比}{さんかくひ}という。
三角比を $0^{\circ}\le \theta\le 180^{\circ}$ に対して定めるために,
さらに,
次の性質をもつものとする。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\sin{0^{\circ}}=0, \quad
\cos{0^{\circ}}=1, \quad
\tan{0^{\circ}}=0$
\item[(2)]
$\sin{90^{\circ}}=1, \quad
\cos{90^{\circ}}=0$
\item[ ]
$\tan{90^{\circ}}$ は定義しない。
\item[(3)]
$\sin{(180^{\circ}-\theta)}=\sin{\theta}$
\item[ ]
$\cos{(180^{\circ}-\theta)}=-\cos{\theta}$
\item[ ]
$\tan{(180^{\circ}-\theta)}=-\tan{\theta}$
\end{enumerate}
%
%
三角比の基本公式
自然数 $n$ に対して,
$(\sin{\theta})^n$,
$(\cos{\theta})^n$,
$(\tan{\theta})^n$ をそれぞれ $\sin^n{\theta}$,
$\cos^n{\theta}$,
$\tan^n{\theta}$ と書く。
三角比の定義から,
$\theta\ne 90^{\circ}$ に対して
%
\begin{align*}
\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\end{align*}
%
が成り立つ。
また,
三平方の定理から
%
\begin{align*}
\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1
, \quad
\tan^2{\theta}+1=\frac{1}{\cos^2{\theta}}
\end{align*}
%
が成り立つ。
さらに,
$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ のとき,
%
\begin{align*}
&
\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos{\theta}
, \quad
\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin{\theta}
\\
&
\tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\cos{\theta}}
\end{align*}
%
が成り立つ。
%
応用例
- 回転運動 (工業力学(V-A-3 力学))
- 応力とひずみ(4) (材料力学(V-A-3 力学))
- 流体の静力学(6) タンク内圧力 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の動力学(6) オイラーの運動方程式とベルヌーイの定理 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 応力とひずみ(5) (材料力学(V-A-3 力学))
- ふく射伝熱(5) 複雑な物体間のふく射と形態係数 (伝熱工学(V-A-4 熱流体))
- 流体の静力学(9) 傾斜平板に作用する全圧力 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の性質(11) 表面張力と毛細管現象 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の性質(12) 表面張力と毛細管現象 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
- 流体の動力学(16) 曲管における運動量の法則 (流れ学 (V-A-4 熱流体))
三角形
三角形
%
通常,
$\bigtriangledown\text{ABC}$ を扱うときは,
各頂点の内角の大きさを,
頂点と同じアルファベットを用いて
%
\begin{align*}
\angle\text{A}=A
, \quad
\angle\text{B}=B
, \quad
\angle\text{C}=C
\end{align*}
%
と表す。
また,
各頂点の対辺の長さを,
頂点と同じアルファベットの小文字を用いて
%
\begin{align*}
\text{BC}=a
, \quad
\text{CA}=b
, \quad
\text{AB}=c
\end{align*}
%$$,
と表す。
以下,
この項目ではこの記号を使う。
%
正弦定理
%
三角形の外接円 (3つの頂点を通る円) の半径を $R$ とするとき,
%
\begin{align*}
\frac{a}{\sin{A}}
=
\frac{b}{\sin{B}}
=
\frac{c}{\sin{C}}
=
2R
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{正弦定理}{せいげんていり}という。
%
余弦定理
%
角 $C=90^{\circ}$ の場合には,
三平方の定理
%
\begin{align*}
c^2=a^2+b^2
\end{align*}
%
が成り立つ。
$C$ がどんな大きさであっても,
%
\begin{align*}
c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}
\end{align*}
%
が成り立つ。
$C=90^{\circ}$ のとき $\cos{C}=0$ であるから,
三平方の定理をなる。
$a$, $b$, $c$ を入れ替えれば,
任意の三角形について
%
\begin{align*}
a^2
&=b^2+c^2-2bc\cos{A}
\\
b^2
&=c^2+a^2-2ca\cos{B}
\\
c^2
&=a^2+b^2-2ab\cos{C}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{余弦定理}{よげんていり}という。
これらは辺の長さを求める公式であるが,
角の大きさを求める場合には,
次の形で用いられる。
%
\begin{align*}
\cos{A}
&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\\
\cos{B}
&=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
\\
\cos{C}
&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\end{align*}
%
%
三角形の面積
%
三角形の面積を $S$ とすれば
%
\begin{align*}
S
=
\frac{1}{\,2\,}ab\sin{C}
=
\frac{1}{\,2\,}bc\sin{A}
=
\frac{1}{\,2\,}ca\sin{B}
\end{align*}
%
が成り立つ。
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ヘロンの公式
%
三角形の面積 $S$ は,
辺の長さだけを用いて表すことができる。
$s=a+b+c$ とするとき
%
\begin{align*}
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{ヘロンの公式}{へろんのこうしき}という。
%