% 変数 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら, 定数 $a$ に限りなく近づくとき, % \begin{align*} x\to a \end{align*} % とかく。 また, 変数 $x$ が限りなく大きくなるとき % \begin{align*} x\to \infty \end{align*} % とかき, 変数 $x$ が限りなく小さくなる(負の値で絶対値が限りなく大きくなる)とき % \begin{align*} x\to -\infty \end{align*} % とかく。 $f(x)$ を $x$ の関数とする。 $x\to a$ のとき, 関数の値 $f(x)$ が限りなく $\alpha$ に近づくならば, $x\to a$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に \ommindex{収束}{しゅうそく}するといい % \begin{align*} f(x)\to \alpha\quad (x\to a) \quad \mbox{または}\quad \lim_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*} % と表す。 このとき, $\alpha$ を $x\to a$ のときの関数 $f(x)$ の \ommindex{極限値}という。 $x\to a$ のとき $f(x)$ がどんな値にも収束しないとき, \ommindex{発散}{はっさん}するという。 $x\to a$ のとき $f(x)$ が限りなく大きくなるときは $f(x)$ は\ommindex{無限大に発散する}{むげんだいにはっさん}といい, % \begin{align*} f(x)\to \infty\quad (x\to a) \quad \mbox{または}\quad \lim_{x\to a}f(x)=\infty \end{align*} % と表す。 また, $x\to a$ のとき $f(x)$ が限りなく小さくなる (負の値で絶対値が限りなく大きくなる)ときは \ommindex{マイナス無限大に発散}{まいなすむげんだいにはっさん}するといい, % \begin{align*} f(x)\to -\infty\quad (x\to a) \quad \mbox{または}\quad \lim_{x\to a}f(x)=-\infty \end{align*} % と表す。 $x\to a$ のとき $f(x)$ は 発散するが $\infty$ にも $-\infty$ にも発散しないとき, $f(x)$ は\ommindex{振動}{しんどう}するという。 $x\to a$ の関数 $f(x)$ の変化の様子を \ommindex{関数の極限}{かんすうのきょくげん}という。 以上のことは $x\to a$ は $x\to\infty$, $x\to -\infty$ の場合も同様である。 %

% $x$ が $x<a$ を満たしながら $x\to a$ となるとき, % \begin{align*} x\to a+0 \end{align*} % とかき, $x$ が $x>a$ を満たしながら $x\to a$ となるとき, % \begin{align*} x\to a-0 \end{align*} % とかく。 このとき, 極限 % \begin{align*} \lim_{x\to a+0}f(x) \end{align*} % を $f(x)$ の\ommindex{右側極限}{みぎがわきょくげん}といい, % \begin{align*} \lim_{x\to a-0}f(x) \end{align*} % を $f(x)$ の\ommindex{左側極限}{ひだりがわきょくげん}という。 $x\to a$ のとき $f(x)$ が極限値 $\alpha$ に収束するということは, % \begin{align*} \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha \end{align*} % であることを意味する。 %

% $x\to a$ のとき, 関数 $f(x)$, $g(x)$ がともに収束するとき, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha$, $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ とすれば, 次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{f(x)\pm g(x)\right\} = \alpha \pm \beta \quad (\mbox{複号同順})$ \item[(2)] $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x) = \alpha\beta$ \item[(3)] $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta} \quad (\mbox{ただし, $g(x)\ne 0$, $\beta\ne 0$})$ \end{enumerate} % %

% $f(x)$ は $x=a$ を含む開区間で定義されているとする。 $x\to a$ のとき, % \begin{align*} \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \end{align*} % を満たすとき, $f(x)$ は $x=a$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。 $f(x)$ が開区間 $I$ のすべての点で連続であるとき, $f(x)$ は区間 $I$ 上の\ommindex{連続関数}{れんぞくかんすう}という。 %

% $a$ を底とする対数関数 $y=\log_{a}{x}$ の導関数は % \begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) &= \lim_{h\to 0} \frac{\log_{a}{(x+h)}-\log_{a}{x}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}} \\ &= \frac{1}{x} \lim_{t\to \pm\infty} \log_{a}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \end{align*} % である。 ここで $t=\frac{x}{h}$ であり, 符号は $h$ の符号と一致する。 極限値 % \begin{align*} \lim_{t\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \end{align*} % は存在することが知られており, これを $e$ と表す。 $e=2.7182\ldots $ であり, これを\ommindex{自然対数の底}{しぜんたいすうのてい}という。 自然対数の底を用いると, 単数関数の導関数の公式 % \begin{align*} \left(\log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x}\log_{a}{e} = \frac{1}{x\log_{e}{a}} \end{align*} % が成り立つ。 $e$ を底とする対数関数 $y=\log_{e}{x}$ を \ommindex{自然対数}{しぜんたいすう}といい, $e$ を省略して $y=\log{x}$ と表す。 電卓などでは log natural の意味で $y=\ln(x)$ と かかれている場合が多い。 $\log_{e}{e}=1$ であるから, 自然対数の導関数について % \begin{align*} \left(\log_{}{x}\right)' = \frac{1}{x} \end{align*} % が成り立つ。 $e$ を底とする指数関数 $y=e^x$ の両辺の対数をとると % \begin{align*} \log{y}=\log{e^{x}}=x \end{align*} % となる。 $\log{y}=x$ を $x$ で微分すると % \begin{align*} \frac{y'}{y}=1 \quad \mbox{すなわち} \quad y'=y \end{align*} % となり, これを書き直すと, 指数関数の導関数の公式 % \begin{align*} \left(e^x\right)'=e^x \end{align*} % が得られる。 %

% 図の扇形 O-AB の中心角は $\theta$, 半径は $1$ である。 %=image:/media/2014/08/02/140697860308284400.png: このとき % \begin{align*} \text{BC}=\sin{\theta}, \quad \mbox{弧 AB}=\theta, \quad \text{AD}=\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align*} % であり, これらの長さの比較から % \begin{align*} \sin{\theta}<\theta<\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align*} % が得られる。 この式を変形すると % \begin{align*} 1>\frac{\sin{\theta}}{\theta}>\cos{\theta} \end{align*} % となり, $\theta\to 0$ とすれば, 極限値 % \begin{align*} \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1 \end{align*} % が得られる。 これを用いると % \begin{align*} \left(\sin{x}\right)' &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{2\cos{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin\frac{h}{2}}{h} \\ &= \lim_{\theta\to 0} \frac{\cos{\left(x+\theta\right)}\sin\frac{h}{2}}{\theta} \quad \left(\theta=\frac{h}{2}\right) \\ &= \cos{x} \end{align*} % となる。 同じようにして次の導関数の公式を求めることができる。 % \begin{align*} \left(\sin{x}\right)'=\cos{x} , \quad \left(\cos{x}\right)'=-\sin{x} \end{align*} % %

% 関数 $y=f(x)$ は開区間で定義されているとする。 $I$ の任意の点 $x$ に対して, 極限値 % \begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*} % が存在するとき, $f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{微分可能}{びぶんかのう}であるという。 $y=f(x)$ が区間 $I$ で微分可能であるとき, この極限値で定められる関数を % \begin{align*} y', \quad f'(x), \quad \frac{dy}{dx}, \quad \frac{df}{dx} \end{align*} % などと表し, これを $y=f(x)$ の\ommindex{導関数}{どうかんすう}という。 %

% 関数の導関数について, 次の公式が成り立つ。 ■　線形性 % \begin{align*} & \left\{f(x)\pm g(x)\right\}'=f'(x)\pm g'(x)\quad (\mbox{複号同順}) \\ & \left\{\alpha f(x)\right\}'=\alpha f'(x) \end{align*} % ■　基本的な関数の導関数 % \begin{align*} & \left(x^{\alpha}\right)'=\alpha x^{\alpha-1} \\ & \left(e^{x}\right)'=e^x \\ & \left(\log\left|x\right|\right)'=\frac{1}{\,x\,} \\ & \left(\sin{x}\right)'=\cos{x} \\ & \left(\cos{x}\right)'=-\sin{x} \\ & \left(\tan{x}\right)'=\frac{1}{\,\cos^{2}{x}\,} \\ & \left(\arcsin{x}\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ & \left(\arccos{x}\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ & \left(\arctan{x}\right)'=\frac{1}{x^2+1} \end{align*} % ■　関数の積と商の導関数 % \begin{align*} & \left\{f(x)g(x)\right\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ & \left\{\frac{f(x)}{\,g(x)\,}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\,\left\{g(x)\right\}^2\,} \end{align*} % ■　合成関数の導関数 % \begin{align*} & \frac{dy}{\,dx\,}=\frac{dy}{\,du\,}\frac{du}{\,dx\,} \end{align*} %

% 関数 $y=f(x)$ が開区間 $I$ で微分可能であるとき, $I$ の点 $a$ に対して, $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ の $x=a$ における値 $f'(a)$ を $y=f(x)$ の $x=a$ における\ommindex{微分係数}{びぶんけいすう}という。 微分係数は, $f'(a)$ の他に % \begin{align*} y'(a), \quad \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a}, \quad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \end{align*} % などと表す。 微分係数 $f'(a)$ は, $x=a$ から $x=a+h$ までの\ommindex{平均変化率}{へいきんへんかりつ} % \begin{align*} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*} % の $h\to 0$ としたときの極限値 % \begin{align*} f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*} % であり, $f(x)$ の $x=a$ における\ommindex{変化率}{へんかりつ}を表す。 %

関数 $y=f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続, $(a,b)$ で微分可能であるとき, % \begin{align*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c), \quad a<c<b \end{align*} % を満たす $c$ が存在する。 このことから次のこと導かれる。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f'(x)>0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は単調増加}$ \item[(2)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f'(x)<0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は単調減少}$ \end{enumerate} %

% 関数 $y=f(x)$ が開区間 $I$ で微分可能であるとき, % \begin{align*} dy=f'(x)\,dx \end{align*} % を, $y=f(x)$ の\ommindex{微分}{びぶん}という。

% $x$ の値が $dx$ だけ変化したときの $y$ の変化量を $\varDelta{y}$ で表す。 すなわち % \begin{align*} \varDelta{y}=f(x+dx)-f(x) \end{align*} % である。 $\left|dx\right|$ が小さいとき, 導関数の定義から % \begin{align*} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}≒f'(x) \end{align*} % が成り立つ。 したがって, $\varDelta{y}$ の近似式 % \begin{align*} \varDelta{y} &= \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\,dx \\ &= f'(x)\,dx \end{align*} % が得られる。 これを\ommindex{微分による変化量の近似}{びぶんによるへんかりょうのきんじ} という。

% 関数 $y=f(x)$ が $n$ 回微分可能であるとき, $f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数を % \begin{align*} f^{(n)}(x), \quad y^{(n)}, \quad \frac{d^n y}{dx^n} \end{align*} % などと表し, これを\ommindex{$\vt{n}$階導関数}{nかいどうかんすう}という。 2階導関数は $f''(x)$, 3階導関数は $f'''(x)$ と書くこともある。 2階以上の導関数を\ommindex{高階導関数}{こうかいどうかんすう}という。 2階導関数と関数の凹凸について, 次のことが成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f''(x)>0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は下に凸}$ \item[(2)] $\mbox{区間 $(a,b)$ で,} \quad f''(x)<0 \ \Longleftrightarrow \ \mbox{$f(x)$ は上に凸}$ \end{enumerate} %

% $f(x)$ は $x=a$ を含む開区間で何回でも微分可能であるとする。 このとき, 開区間の任意の点 $x$ において, $f(x)$ は, $a$ と $x$ の間にある数 $c$ を用いて % \begin{align*} f(x) &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \\ &+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n +\frac{f^{(n)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{align*} % と表すことができる。 これを\ommindex{テイラーの定理}{ていらーのていり}という。 この定理の右辺の $n$ 次多項式 % \begin{align*} f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{align*} % を\ommindex{テイラー多項式}{ていらーたこうしき}, 最後の項 % \begin{align*} R_{n+1}=\frac{f^{(n)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{align*} % を\ommindex{剰余項}{じょうよこう}という。 ここで, % \begin{align*} \lim_{n\to\infty}R_{n+1}=0 \end{align*} % であるとき, $f(x)$ は % \begin{align*} f(x) &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 \\ &+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots \end{align*} % と, 無限級数で表すことができる。 このとき $f(x)$ は $x=a$ のまわりで \ommindex{テイラー展開可能}{ていらーてんかいかのう}であるといい, 右辺を $f(x)$ の\ommindex{テイラー級数}{ていらーきゅうすう}という。 $f(x)$ をテイラー級数で表すことを \ommindex{テイラー展開}{ていらーてんかい}するという。 $f(x)$ が何回でも微分可能であっても, テイラー展開可能であるとは限らない。 %

% 前項のテイラーの定理で, とくに $a=0$ の場合を \ommindex{マクローリンの定理}{まくろーりんのていり}という。 \ommindex{マクローリン多項式}{まくろーりんたこうしき}, \ommindex{マクローリン展開可能}{まくろーりんてんかいかのう}, \ommindex{マクローリン級数}{まくろーりんきゅうすう}, \ommindex{マクローリン展開}{まくろーりんてんかい}も同じように定める。 $x=0$ のまわりでマクローリン展開可能な関数について, $|x|<R$ の範囲でマクローリン展開可能であるが, $|x|=R$ のときマクローリン展開可能ではないような正の数 $R$ を, マクローリン級数の\ommindex{収束半径}{しゅうそくはんけい}という。 任意の実数でマクローリン展開可能な関数の収束半径はは無限大とし, $R=\infty$ とかく。 いくつかの関数のマクローリン展開を挙げる。 $R$ は収束半径である。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots \quad (R=1)$ \item[(2)] $\sin{x}=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(3)] $\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} -\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(4)] $e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \quad (R=\infty)$ \item[(5)] $\log{x}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} -\cdots +(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots \quad (R=1)$ \end{enumerate} % %

% $e^x$ のマクローリン展開に, $x=i\theta$ ($i$ は虚数単位) を代入すると, % \begin{align*} e^{i\theta} &= 1+\frac{i\theta}{1!}+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!} +\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(i\theta)^5}{5!}+\cdots \\ &= 1+\frac{i\theta}{1!}-\frac{\theta^2}{2!}-\frac{i\theta^3}{3!} +\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\cdots \\ &= \left( 1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}\cdots \right) + i\left( \frac{i\theta}{1!}-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdots \right) \end{align*} % となる。 最後の式の実部は $\cos{\theta}$ のマクローリン展開, 虚部は $\sin{\theta}$ のマクローリン展開であるから % \begin{align*} e^{i\theta} = \cos{\theta}+i\sin{\theta} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{オイラーの公式}{おいらーのこうしき}という。