積分
定積分
%
関数 $y=f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続であるとする。
区間 $[a,b]$ の分割
%
\begin{align*}
a=a_0<a_1<a_2<\cdots <a_n<b
\end{align*}
%
と,
$1$ から $n$ までの整数 $k$ に対して,
$k$ 番目の小区間の幅と,
その小区間に属する点を
%
\begin{align*}
dx_k=a_{k}-a_{k-1},
\quad
a_{k-1}<x_k<a_{k}
\end{align*}
%
と定める。
このとき,
分割数 $n$ を限りなく大きくして,
各分割幅を限りなく小さくしたときの
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\,dx_k
\end{align*}
%
を,
区間 $[a,b]$ における $f(x)$ の\ommindex{定積分}{ていせきぶん}といい,
%
\begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
\end{align*}
%
と表す。
このとき,
区間 $[a,b]$ を\ommindex{積分区間}{せきぶんくかん}という。
さらに,
$a\ge b$ のとき,
%
\begin{align*}
&
\int_{b}^{a}f(x)\,dx=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx
\end{align*}
%
と定める。
これによって,
$a$,
$b$ の大小に関わりなく,
$x=a$ から $x=b$ までの定積分が定義される。
定積分を求めることを $x=a$ から $x=b$ まで
\ommindex{積分}{せきぶん}するという。
%
微分積分学の基本定理
%
関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であるとし,
関数 $F(x)$ を $F'(x)=f(x)$ を満たす関数であるとする。
区間 $I$ における $F(x)$ の増加量を表す記号を
%
\begin{align*}
\Big[\ F(x) \ \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)
\end{align*}
%
と定めるとき,
%
\begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
=
\Big[\ F(x) \ \Big]_{a}^{b}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{微分積分学の基本定理}{びぶんせきぶんがくのきほんていり}
という。
%
積分の性質
%
$k$, $l$ が定数のとき,
定積分,
不定積分について
%
\begin{align*}
\int_{a}^{b}\{k\,f(x)+l\,g(x)\}\,dx
&=
k\int_{a}^{b}f(x)\,dx
+
l\int_{a}^{b}g(x)\,dx
\\
\int\{k\,f(x)+l\,g(x)\}\,dx
&=
k\int f(x)\,dx
+
l\int g(x)\,dx
\end{align*}
が成り立つ。
これを\ommindex{積分の線形性}{せきぶんのせんけいせい}という。
さらに,
定積分について,
次の性質が成り立つ。
%
\begin{enumerate}
\item
任意の定数 $a$ に対して,
%
\begin{align*}
\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0
\end{align*}
%
\item
定数 $a$, $b$, $c$ に対して,
%
\begin{align*} \int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx
=
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
\end{align*}
\item
$a<b$,
$f(x)\ge 0$ $(a\le x\le b)$ ならば
%
\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx \ge 0
\end{align*}
\item
$a<b$ ならば
%
\begin{align*} \left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right|
\le
\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
%
基本的な関数の積分
$\alpha$, $a$, $A$ を,
$\alpha\ne -1$, $a>0$, $A\ne0$ を満たす定数とするとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\int x^{\alpha}\,dx
&=\frac{1}{\,\alpha+1\,}x^{\alpha+1}+C
\\
\int \frac{1}{\,x\,}\,dx
&=\log|x|+C
\\
\int e^x\,dx
&=e^x+C
\\
\int \sin{x}\,dx
&=-\cos{x}+C
\\
\int \cos{x}\,dx
&=\sin{x}+C
\\
\int \frac{1}{\,\cos^2{x}\,}\,dx
&=\tan{x}+C
\\
\int \frac{1}{\,x^2-a^2\,}\,dx
&=\frac{1}{\,2a\,}\log\left|\frac{x-a}{\,x+a\,}\right|+C
\\
\int \frac{1}{\,x^2+a^2\,}\,dx
&=\frac{1}{\,a\,}\tan^{-1}{\frac{x}{\,a\,}}+C
\\
\int \frac{1}{\,\sqrt{a^2-x^2}\,}\,dx
&=\sin^{-1}\frac{x}{\,a\,}+C
\\
\int \frac{1}{\,\sqrt{x^2+A}\,}\,dx
&=\log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|+C
\\
\int \sqrt{x^2+A}\,dx
&=\frac{1}{\,2\,}\left(
x\sqrt{x^2+A}+A\log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|\right)+C
\\
\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx
&=\frac{1}{\,2\,}\left(
x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\sin^{-1}\frac{x}{\,a\,}\right)+C
\end{align*}
%
積分の計算
%
\begin{enumerate}
\item[1.]
\ommindex{置換積分法}{ちかんせきぶんほう}(1)
$t=\varphi(x)$ とおくとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx
=
\int f(t)\,dt
\end{align*}
%
$t=\varphi(x)$ とおくとき,
$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき,
$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化するならば,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx
=
\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\,dt
\end{align*}
%
\item[ ]
\ommindex{置換積分法}{ちかんせきぶんほう}(2)
$x=\varphi(t)$ とおくとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx
=
\int f(t)\,dt
\end{align*}
%
$x=\varphi(t)$ とおくとき,
$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき,
$t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化するならば,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
=
\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\varphi'(t)\,dt
\end{align*}
%
\item[2.]
\ommindex{部分積分法}{ぶぶんせきぶんほう}
%
\begin{align*}
\int f'(x)g(x)\,dx
&=
f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx
\\
\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,dx
&=
\Big[\ f(x)g(x) \ \Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,dx
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
三角関数の定積分
$n$ を $n\ge 0$ を満たす整数とするとき
%
\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{\,2\,}}\sin^n{x}\,dx
=
\int_{0}^{\frac{\pi}{\,2\,}}\cos^n{x}\,dx
\end{align*}
%
であり,
これらの積分の値について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{\,2\,}}\sin^n{x}\,dx
=
\left\{\begin{array}{lcc}
\displaystyle
\frac{n-1}{\,n\,}\cdot \frac{n-3}{\,n-2\,}\cdots \frac{1}{\,2\,}
\cdot \frac{\pi}{\,2\,}
& &(\mbox{$n$ が偶数})
\\[1em]
\displaystyle
\frac{n-1}{\,n\,}\cdot \frac{n-3}{\,n-2\,}\cdots \frac{2}{\,3\,}
\cdot 1
& &(\mbox{$n$ が奇数})
\end{array}\right.
\end{align*}
%
応用例
- 体積変化に伴う仕事 （物理化学）
- 温度変化に伴うエンタルピー変化と内部エネルギー変化 （物理化学）
- ひずみエネルギー(2) （材料力学（V-A-3 力学））
- 管型反応器の2次反応による反応率と反応器体積 （反応工学）
- 流体の機械的エネルギー収支 （化学工学）
- 連続体の振動(2) （機械力学（V-A-3 力学））
- 理想溶液の回分単蒸留 （化学工学）
- 熱伝導に関するフーリエの法則 （化学工学）
- 固体の乾燥速度と乾燥時間 （化学工学）
- 曲げ(8) （材料力学（V-A-3 力学））
- 粉砕エネルギーに関する理論 （化学工学）
- 理想気体の性質と状態変化(9) 断熱変化 （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- 熱力学の基礎(9) 比熱 （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- 定圧濾過速度 （化学工学）
- 理想気体の性質と状態変化(10) 断熱変化 （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- ねじり(1) （材料力学（V-A-3 力学））
- 熱力学の第二法則(3) カルノーサイクル （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- 曲げ(2) （材料力学（V-A-3 力学））
- 曲げ(4) （材料力学（V-A-3 力学））
- 流体の静力学(6) タンク内圧力 （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 流体の動力学(6) オイラーの運動方程式とベルヌーイの定理 （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 曲げ(5) （材料力学（V-A-3 力学））
- 流体の動力学(7) 圧縮性流体の運動方程式 （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 理想気体の性質と状態変化(6) 等温変化 （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- 流体の静力学(12) 並進運動の相対的静止 （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 熱力学の第二法則(12) 混合におけるエントロピ変化 （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- 熱力学の第二法則(19) 理想気体の有効エネルギ （熱力学 （V-A-4 熱流体））
- 流体の静力学(8) 垂直平板に作用する全圧力 （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 曲げ(1) （材料力学（V-A-3 力学））
- 引張と圧縮(2) （材料力学（V-A-3 力学））
- 重心 （工業力学（V-A-3 力学））
- 仕事 （工業力学（V-A-3 力学））
- 管路内の流れ(4) 管内の層流流れ （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 管路内の流れ(5) 管内の乱流流れ （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 流体の静力学(10) 曲面に作用する全圧力 （流れ学 （V-A-4 熱流体））
- 流体の静力学(11) 浮揚体の安定性 （流れ学 （V-A-4 熱流体））