% 空間の各点 P に対して1つの実数 $\varphi$ が定まるとき, $\varphi$ を \ommindex{スカラー場}{すからーば}という。 スカラー場が定められた点全体の集合を, そのスカラー場の\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 スカラー場の定義域に含まれる 点 P$(x,y,z)$ における $\varphi$ の 値を $\varphi(x,y,z)$ または $\varphi(\text{P})$ と表す。 電位分布, 密度分布, 温度分布などはスカラー場の例である。 スカラー場 $\varphi$ に対して, その値が一定である点全体が曲面を作るとき, この曲面を $\varphi$ の \ommindex{等位面}{とういめん}という。 %

% 空間の各点 P に対して1つのベクトル $\vt{a}$ が定まるとき, $\vt{a}$ を\ommindex{ベクトル場}{べくとるば}という。 ベクトル場が定められた点全体の集合を, そのベクトル場の\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 ベクトル場の定義域に含まれる点 P$(x,y,z)$ において, ベクトル場 $\vt{a}$ から定まる ベクトルを $\vt{a}(x,y,z)$ または $\vt{a}(\text{P})$ と表す。 $\vt{a}(x,y,z)$ は, % \begin{align*} \vt{a}(x,y,z) =a_x(x,y,z)\,\vt{i}+a_y(x,y,z)\,\vt{j}+a_z(x,y,z)\,\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 重力場, 電場, 磁場や, 流体の速度分布などはベクトル場である。 %

% 空間のスカラー場 $\varphi$ に対して, 微分演算子 % \begin{align*} \nabla = \vt{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vt{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vt{k}\frac{\partial}{\partial z} \end{align*} % を用いて, % \begin{align*} \nabla{\varphi} &= \left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x} +\vt{j}\frac{\partial}{\partial y} +\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\varphi \\ &= \frac{\partial\varphi}{\partial x}\vt{i} +\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vt{j} +\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vt{k} \end{align*} % と定められるベクトル場を $\varphi$ の\ommindex{勾配}{こうばい}といい, $\grad{\varphi}$ と表す。 点 P$(x_0,\,y_0,\,z_0)$ と単位ベクトル $\vt{u}=u_x\,\vt{i}+u_y\,\vt{j}+u_z\,\vt{k}$ に対して, % \begin{align*} \varphi(t)=\varphi(x_0+u_xt,\,y_0+u_yt,\,z_0+u_zt) \end{align*} % とおくと, % \begin{align*} \varphi'(0) = \grad{\varphi}({\text{P}})\bdot \vt{u} \end{align*} % が成り立つ。 この値は, 点 P が $\vt{u}$ 方向に移動したときの $\varphi$ の値の変化率である。 これを, 点 P におけるスカラー場 $\varphi$ の $\vt{u}$ 方向の \textbf{方向微分係数}といい, $D_{\vt{u}}\varphi$ と表す。方向微分係数 $D_{\vt{u}}\varphi$ が 最大となる単位ベクトル $\vt{u}$ の向きを, $\varphi$ の\textbf{最大傾斜方向}という。 $\grad{\varphi}$ は各点 P において, $\varphi$ の最大傾斜方向と同じ方向のベクトルであり, そのとき, $D_{\vt{u}}\varphi=\left|\grad{\varphi}\right|$ になる。

% スカラー場 $\varphi$, $\psi$ および定数 $c$ について, 次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\grad{(c\varphi)}=c\grad{\varphi}$ \item[(2)] $\grad(\varphi+\psi)=\grad{\varphi}+\grad\psi$ \item[(3)] $\grad(\varphi\psi) =(\grad\varphi)\psi +\varphi(\grad\psi)$ \end{enumerate} %

% 空間のベクトル場 $\vt{a}=a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k}$ に対して, 微分演算子 % \begin{align*} \nabla = \vt{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vt{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vt{k}\frac{\partial}{\partial z} \end{align*} % を用いて, % \begin{align*} \nabla\bdot\vt{a} &=\left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x} +\vt{j}\frac{\partial}{\partial y} +\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) \bdot (a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k}) \\ &= \frac{\partial a_x}{\partial x} +\frac{\partial a_y}{\partial y} +\frac{\partial a_z}{\partial z} \end{align*} % と定められるスカラー場を $\vt{a}$ の\ommindex{発散}{はっさん}といい, $\div{\vt{a}}$ と表す。

% ベクトル場 $\vt{a}$, $\vt{b}$, スカラー場 $\varphi$ および定数 $c$ に対して, 次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\div(c\,\vt{a})=c\,(\div\vt{a})$ \item[(2)] $\div(\vt{a}+\vt{b})=\div\vt{a}+\div\vt{b}$ \item[(3)] $\div(\varphi\,\vt{a})=(\grad{\varphi})\bdot\vt{a}+\varphi\div{\vt{a}}$ \end{enumerate} %

% 空間のベクトル場 $\vt{a}=a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k}$ に対して, 微分演算子 % \begin{align*} \nabla = \vt{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vt{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vt{k}\frac{\partial}{\partial z} \end{align*} % を用いて, % \begin{align*} \nabla\times\vt{a} &=\left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x} +\vt{j}\frac{\partial}{\partial y} +\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) \times (a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k}) \\ &= \left|\begin{array}{cC{2em}c} \vt{i} & \frac{\partial}{\partial x} & a_x \\[0.5em] \vt{j} & \frac{\partial}{\partial y} & a_y \\[0.5em] \vt{k} & \frac{\partial}{\partial z} & a_z \end{array}\right| \\ &= \vt{i}\left|\begin{array}{C{2em}c} \frac{\partial}{\partial y} & a_y \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial z} & a_z \end{array}\right| - \vt{j}\left|\begin{array}{C{2em}c} \frac{\partial}{\partial x} & a_x \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial z} & a_z \end{array}\right| + \vt{k} \left|\begin{array}{C{2em}c} \frac{\partial}{\partial x} & a_x \\[0.5em] \frac{\partial}{\partial y} & a_y \end{array}\right| \\ &= \left( \frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z} \right)\vt{i} - \left( \frac{\partial a_z}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial z} \right)\vt{j} + \left( \frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y} \right)\vt{k} \end{align*} % と定められるベクトル場を $\vt{a}$ の\ommindex{回転}{かいてん}といい, $\rot{\vt{a}}$ または $\curl{\vt{a}}$ と表す。

% ベクトル場 $\vt{a}$, $\vt{b}$, スカラー場 $\varphi$ および定数 $c$ に対して, 次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\rot(c\,\vt{a})=c\,(\rot\vt{a})$ \item[(2)] $\rot(\vt{a}+\vt{b})=\rot\vt{a} +\rot\vt{b}$ \item[(3)] $\rot(\varphi\,\vt{a})= (\grad\varphi)\times\vt{a} +\varphi\,(\rot\vt{a})$ \item[(4)] $\rot(\grad\varphi) =\vt{0}$ \item[(5)] $\div(\rot\vt{a})=0$ \end{enumerate} %

% $\alpha\le t \le\beta$ で定義された関数 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ が連続であるとき, 空間の点 P$(x(t),y(t),z(t))$ は空間に\ommindex{曲線}{きょくせん} C を描く。 点 P の位置ベクトル $\vt{r}$ は % \begin{align*} \vt{r}=x(t)\vt{i}+y(t)\vt{j}+z(t)\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 これを $\vt{r}=\vt{r}(t)$ と表し, これを曲線 C の \ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}といい, 変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう}, $\alpha\le t \le\beta$ を\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 点 P$(x(t),y(t),z(t))$ を単に P$(t)$ とかくこともある。 P$(\alpha)$ を\ommindex{始点}{してん}, P$(\beta)$ を\ommindex{終点}{しゅうてん}といい, $t$ の増加に伴って P$(t)$ が移動する向きを, 曲線 C の\ommindex{向き}{むき}という。 %

% \begin{enumerate} \item[(1)] 点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とする。 点 A を通り, 定ベクトル $\vt{v}$ に平行な直線の媒介変数表示は % \begin{align*} \vt{r}=\vt{a}+t\vt{v} \end{align*} % と表すことができる。 ベクトル $\vt{v}$ をこの\ommindex{直線}{ちょくせん}の \ommindex{方向ベクトル}{ほうこうべくとる}という。 \item[(2)] 点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とする。 $\vt{u}$, $\vt{v}$ を互いに直交する単位ベクトルとする。 このとき, 点 A を中心として, $\vt{u}$, $\vt{v}$ に平行な面上にあり, 半径が $R$ である\ommindex{円}{えん}の媒介変数表示は % \begin{align*} \vt{r}=\vt{a}+R\cos{t}\vt{u}+R\sin{t}\,\vt{v} \end{align*} % と表すことができる。 \item[(3)] 曲線 % \begin{align*} \vt{r} = R\cos{t}\vt{i}+R\sin{t}\vt{j}+ct \end{align*} % は, $z$ 軸を中心とした半径 $R$ の円柱面に巻きつきながら, $z$ 座標が一定の割合で変化していく螺旋となる。 これを\ommindex{常螺旋}{じょうらせん}という。 \end{enumerate} %

% 関数 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ が連続微分可能であるとき, 曲線 $\vt{r}=x(t)\vt{i}+y(t)\vt{j}+z(t)\vt{k}$ は 連続微分可能であるという。 このとき, % \begin{align*} \frac{d\vt{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vt{i}+\frac{dy}{dt}\vt{j}+\frac{dz}{dt}\vt{k} \end{align*} % をこの曲線の \ommindex{接線ベクトル}{せっせんべくとる}または \ommindex{速度ベクトル}{そくどべくとる}という。 曲線上の点 P$(t_0)$ の位置ベクトルを $\vt{r}_0$, P$(t_0)$ における接線ベクトルを $\vt{v}_0$ とすると, $s$ を媒介変数とする直線 % \begin{align*} \vt{r}(s)=\vt{r}_0+s\vt{v}_0 \end{align*} % を, P$(t_0)$ における曲線の\ommindex{接線}{せっせん}, 点 P をその\ommindex{接点}{せってん}という。 %

% $\vt{v}(t)$ と同じ方向の単位ベクトル % \begin{align*} \vt{t} =\frac{\frac{d\vt{r}}{dt}}{\;\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|} \end{align*} % を\ommindex{単位接線ベクトル}{たんいせっせんべくとる}といい, $\vt{t}$ で表す。 曲線 $\vt{r}(t)$ 上の定点 P$(\alpha)$ から P$(t)$ までの長さ $s(t)$ は % \begin{align*} s(t) = \int_{\alpha}^{t}\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|\,dt \end{align*} % となる。 これを\ommindex{弧長}{こちょう}という。 このとき, 単位接線ベクトルの, 弧長に対する変化率の大きさ % \begin{align*} \kappa(t) = \left|\frac{d\vt{t}}{ds}\right| = \left|\frac{d\vt{t}}{dt}\frac{dt}{ds}\right| = \left|\frac{\frac{d\vt{t}}{dt}}{\frac{ds}{dt}}\right| = \frac{\left|\frac{d\vt{t}}{dt}\right|}% {\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|} \end{align*} % を, 曲線 $\vt{r}(t)$ の\ommindex{曲率}{きょくりつ}, $\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$ を \ommindex{曲率半径}{きょくりつはんけい}という。 % %

% 終点と始点が一致している曲線を \ommindex{閉曲線}{へいきょくせん}という。 閉曲線が自分自身と交差しないとき, \ommindex{単一閉曲線}{たんいつへいきょくせん}または \ommindex{単純閉曲線}{たんじゅんへいきょくせん}という。 単一閉曲線が平面図形の境界線となっているとき, 図形の内部を左手に見て回る向きを \ommindex{正の向き}{せいのむき}という。 単一閉曲線が表裏が定められた曲面の境界線となっているとき, 表に立って曲面を左手に見て回る向きを \ommindex{正の向き}{せいのむき}という。 %

% $uv$ 平面上の領域 D で定義された関数 $x(u,v)$, $y(u,v)$, $z(u,v)$ に対して % \begin{align*} \vt{r}=x(u,v)\vt{i}+y(u,v)\vt{j}+z(u,v)\vt{k} \end{align*} % を $\vt{r}=\vt{r}(u,v)$ と表す。 $x$, $y$, $z$ が連続微分可能であるとき, % \begin{align*} \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} &= \frac{\partial x}{\partial u}\vt{i} + \frac{\partial y}{\partial u}\vt{j} + \frac{\partial z}{\partial u}\vt{k}, \\ \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} &= \frac{\partial x}{\partial v}\vt{i} + \frac{\partial y}{\partial v}\vt{j} + \frac{\partial z}{\partial v}\vt{k} \end{align*} % を $\vt{r}$ の\ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}という。 これらの偏導関数が % \begin{align*} \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \ne \vt{0} \end{align*} % を満たすとき, 位置ベクトルを $\vt{r}$ とする 空間の点 P$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ は 空間に\ommindex{曲面}{きょくめん}を描く。 これを $\vt{r}=\vt{r}(u,v)$ と表し, これを曲面 C の \ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}といい, 変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう}, D を\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 点 P$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ を単に P$(u,v)$ とかくこともある。 %

% \begin{enumerate} \item[(1)] 点 P の位置ベクトルを $\vt{p}$ とする。 点 P を通り, 定ベクトル $\vt{a}$, $\vt{b}$ に平行な平面の媒介変数表示は % \begin{align*} \vt{r}=\vt{p}+u\vt{a}+v\vt{b} \end{align*} % と表すことができる。 \item[(2)] $z$ 軸を中心とする半径 $R$ の円柱面は % \begin{align*} \vt{r}=R\cos{u}\,\vt{i}+R\sin{u}\,\vt{j}+v\,\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 \item[(3)] 原点を中心とした半径 $R$ の球面は % \begin{align*} \vt{r} = R\cos{u}\cos{v}\,\vt{i}+R\sin{u}\cos{v}\,\vt{j}+R\sin{v}\,\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 \end{enumerate} %

% 曲面 $\vt{r}=\vt{r}(u,v)$ 上の各点 P において, 曲面に垂直なベクトルを, 点 P における曲面の \ommindex{法線ベクトル}{ほうせんべくとる}という。 % \begin{align*} \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \end{align*} % は法線ベクトルである。 法線ベクトルのうち, 大きさが $1$ のベクトルを \ommindex{単位法線ベクトル}{たんいほうせんべくとる}という。 点 P を通り, 単位法線ベクトルに垂直な平面を, 点 P における\ommindex{接平面}{せつへいめん}という。

% スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ と, 滑らかな曲線 ${\text{C}} :\vt{r}=x(t)\,\vt{i}+y(t)\,\vt{j}+z(t)\,\vt{k}$ に対して, $\varphi(t)=\varphi(x(t),y(t),z(t))$ と表すとき % \begin{align*} \int_{\text{C}}\varphi\,ds = \int_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right| \,dt \end{align*} % を, 曲線 C に沿うスカラー場 $\varphi$ の \ommindex{線積分}{せんせきぶん}という。 とくに, $\varphi=1$ のとき, 線積分の値は曲線 C の長さ $s$ である。 % \begin{align*} s = \int_{\alpha}^{\beta} \left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right| \,dt \end{align*} %

% スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ と, $uv$ 平面上の領域 D で定義された 曲面 ${\text{S}}: \vt{r}=x(u,v)\vt{i}+y(u,v)\vt{j}+z(u,v)\vt{k}$ に対して, $\varphi(u,v)=\varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ と表すとき % \begin{align*} \int_{\text{S}}\varphi\,d\sigma = \int_{\text{D}} \varphi(u,v) \left| \frac{\partial \vt{r}}{du} \times \frac{\partial \vt{r}}{dv} \right|\,dudv \end{align*} % を, 曲面 D 上のスカラー場 $\varphi$ の \ommindex{面積分}{めんせきぶん}という。 とくに, $\varphi=1$ のとき, 面積分の値は \ommindex{曲面の面積}{きょくめんのめんせき} $\sigma$ を表す。 % \begin{align*} \sigma = \int_{\text{D}} \left| \frac{\partial \vt{r}}{du} \times \frac{\partial \vt{r}}{dv} \right|\,dudv \end{align*} % %

% 各点に2つずつある単位法線ベクトルのうち1つを, 曲面全体で連続的に選ぶことができるとき, この曲面は\ommindex{向き付け可能}{むきづけかのう}であるといい, 選んだベクトルを\ommindex{外向き}{そとむき}, もう一方を\ommindex{内向き}{うちむき}であるという。 曲面が向き付け可能であるとき, 外向きの単位法線ベクトルを $\vt{n}$ とするとき, % \begin{align*} \vt{n} = \pm \frac{1}{\displaystyle \left| \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \right|} \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \end{align*} % である。 ここで, 符号は $\displaystyle \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v}$ が外向きにときに $+$, 内向きのときに $-$ を選ぶものとする。 このとき, % \begin{align*} \int_{\text{S}} \vt{a}\vt{\cdot }d\vt{S} &= \int_{\text{S}} \vt{a}\vt{\cdot }\vt{n}\,d\sigma \\ &= \pm \int\!\!\!\int_{\text{D}} \vt{a}\vt{\cdot }\left( \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \right)\,dudv \end{align*} % を, 曲面 S に沿うベクトル場 $\vt{a}$ の \ommindex{面積分}{めんせきぶん}という。 %

% 曲面で囲まれた空間の部分を\ommindex{立体}{りったい}という。 ここでは, % \begin{align*} {\text{V}} &= \{(x,y,z)\,|\, a\le x \le b,\,c\le x \le d,\,e\le x \le f \} \\ {\text{V}} &= \{(x,y,z)\,|\, (x,y)\in D,\,f(x,y)\le x \le g(x,y)\} \end{align*} % などを取り扱う。 $\varphi(x,y,z)$ をスカラー場とする。 立体 D を $n$ 個の 微少な立体 ${\text{V}}_k$ $(k=1,2,\ldots ,n)$ に分割し, 分割された各小立体の体積を $V_k$ とする。 また, 各小立体に含まれる点を $(x_k,y_k,z_k)$ とするとき, $n$ を大きくして, 各小立体を限りなくを小さくしたときの極限 % \begin{align*} \int_{\text{V}} \varphi \,dV = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\varphi(x_k,y_k,z_k)\,dV_k \end{align*} % を, 立体 V におけるスカラー場 $\varphi$ の \ommindex{体積分}{たいせきぶん}という。 体積分は次のように計算する。 % \begin{enumerate} \item[(1)] ${\text{V}} = \{(x,y,z)\,|\, a\le x \le b,\,c\le x \le d,\,e\le x \le f \}$ のとき： % \begin{align*} \int_{\text{V}} \varphi \,dV = \int_{a}^{b}\left\{ \int_{c}^{d}\left\{ \int_{e}^{f}\varphi(x,y,z)\,dz \right\}\,dy \right\}\,dx \end{align*} % \item[(2)] ${\text{V}} = \{(x,y,z)\,|\, (x,y)\in D,\,f(x,y)\le x \le g(x,y)\}$ のとき % \begin{align*} \int_{\text{V}} \varphi \,dV = \int\!\!\!\int_{\text{D}}\left\{ \int_{f(x,y)}^{g(x,y)}\varphi(x,y,z)\,dz \right\}\,dxdy \end{align*} % \end{enumerate} % %

% 立体 V の表面を S とし, ベクトル場 $\vt{a}$ が V を含む領域で定義されているとする。 このとき, $\vt{a}$ の S における面積分の値は, $\div{\vt{a}}$ の V における体積分の値に等しい。 すなわち, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int_{\text{S}}\vt{a}\vt{\cdot }d\vt{S} = \int_{\text{V}}(\div\vt{a})\,d{\omega} \end{align*} % これを\ommindex{ガウスの発散定理}{がうすのはっさんていり}という。 %

% C を正の向きをもつ $xy$ 平面上の単一閉曲線とし, C の内部の領域 D とする。 また, 関数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ は偏微分可能で, そのすべての偏導関数が連続であるとする。 このとき, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int\!\!\!\int_{\text{D}}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\,dxdy = \int_{\text{C}} P\,dx+\int_{\text{C}} Q\,dy \end{align*} % これを\ommindex{グリーンの定理}{ぐりーんのていり}という。 % %

% 向きが定められた曲面 S の境界線を C とし, C は正の向きをもつ単一閉曲線であるとする。 また, ベクトル場 $\vt{a}$ が S を含む領域で定義されているとする。 このとき, $\vt{a}$ の C に沿う線積分の値は, $\rot{\vt{a}}$ の S における面積分の値に等しい。 すなわち, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int_{\text{C}}\vt{a}\vt{\cdot} d\vt{r} = \int_{\text{S}}(\rot\vt{a})\vt{\cdot} d\vt{S} \end{align*} % これを\ommindex{ストークスの定理}{すとーくすのていり}という。 %