正則関数
領域
%
$xy$ 平面上の点 $(x,y)$ に複素数 $x+iy$ を対応させた平面を
\ommindex{複素平面}{ふくそへいめん}または
\ommindex{ガウス平面}{がうすへいめん}という。
複素平面上の点集合 D に含まれる任意の2点が,
D に含まれる曲線によって結ぶことができるとき,
D は\ommindex{連結}{れんけつ}であるという。
複素平面上の点集合 D に対して,
点 P を中心とするどんな小さな円を描いても,
その円の内部に D の点とそれ以外の点が含まれてしまうとき,
点 P は D の\ommindex{境界}{きょうかい}であるという。
その境界の点をすべて含む
点集合を\ommindex{閉集合},
その境界のどんな点も含まない
点集合を\ommindex{開集合}{かいしゅうごう}という。
連結な開集合を\ommindex{領域}{りょういき}という。
%
複素関数
%
複素平面上の領域 D の点 $z=x+iy$ に,
複素数 $w=u+iv$ を対応させる規則を,
D を\ommindex{定義域}{ていぎいき}とする
\ommindex{複素関数}{ふくそかんすう}といい,
$w=f(z)$ のように表す。
このとき,
$z$ を\ommindex{独立変数}{どくりつへんすう},
$w$ を\ommindex{従属変数}{じゅうぞくへんすう}という。
複素関数に対して,
独立変数, 従属変数がともに実数である関数を
\ommindex{実関数}{じつかんすう}という。
複素関数では,
1つの複素数 $z=x+iy$ に対して,
複数の複素数を対応させる関数を扱う場合がある。
このような関数を\ommindex{多価関数}{たかかんすう}という。
これに対して,
1つの複素数 $z=x+iy$ にただ1つの複素数を対応させる関数を
\ommindex{1価関数}{いっかんかんすう}という。
複素平面上の点 $z$ が点 $\alpha$ とは異なる点をとりながら
点 $\alpha$ に限りなく近づいていくことを,
$z\to \alpha$ と表す。
$z\to \alpha$ のとき,
その近づき方によらず $f(z)$ が複素数 $\beta$ に限りなく近づいていくならば,
$f(z)$ は $\beta$ に\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい,
%
\begin{align*}
\lim_{z\to \alpha}f(z)=\beta
\quad \mbox{または} \quad
f(z)\to \beta\quad (z\to\alpha)
\end{align*}
%
などと表す。点 $\alpha$ を,
${z\to \alpha}$ のときの $f(z)$ の\ommindex{極限値}{きょくげんち}という。
点 $\alpha$ を含む領域で定義された複素関数 $f(z)$ について,
極限値 $\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)$ が存在して,
%
\begin{align*}
\lim_{z\to \alpha}f(z)=f(\alpha)
\end{align*}
%
を満たすとき,
$f(z)$ は点 $\alpha$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。
$f(z)$ が領域 D のすべての点で連続であるとき,
$f(z)$ は領域 D で連続であるという。
%
正則関数
%
複素関数 $f(z)$ について,
領域 D に含まれる点 $\alpha$ と複素数 $\varDelta{z}$ に対して,
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{\varDelta{z}\to 0}
\frac{f(\alpha+\varDelta{z})-f(\alpha)}{\varDelta{z}}
\end{align*}
%
が存在するとき,
$f(z)$ は点 $\alpha$ で\ommindex{微分可能}{びぶんかのう}であるという。
このとき,
この極限値を $f(z)$ の点 $\alpha$ における
\ommindex{微分係数}{びぶんけいすう}といい,
$f'(\alpha)$ と表す。
点 $z=\alpha$ を含むある領域のすべての点で $f(z)$ がであるとき,
$f(z)$ は点 $\alpha$ でであるという。
また,
領域 D に含まれるすべての点で微分可能であるとき,
$f(z)$ は領域 D で\ommindex{正則}{せいそく}であるという。
このとき,
$f(z)$ を領域 D 上の\ommindex{正則関数}{せいそくかんすう}という。
領域 D 上の正則関数 $w=f(z)$ に対して,
D 内の点 $\alpha$ に微分係数 $f'(\alpha)$ を対応させる関数を,
$w=f(z)$ の\ommindex{導関数}{どうかんすう}といい
%
\begin{align*}
w', \quad f'(z), \quad \frac{dw}{dz}, \quad \frac{df}{dz}
\end{align*}
%
と表す。
この記号を用いると,
正則関数 $w=f(z)$ の導関数は,
次のように表される。
%
\begin{align*}
f'(z)
=\lim_{\varDelta{z}\to 0}\frac{f(z+\varDelta{z})-f(z)}{\varDelta{z}}
\end{align*}
%
複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ と表されているとする。
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が正則であれば,
$u(x,y)$,
$v(x,y)$ は偏微分可能で
%
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},
\quad
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}
\end{align*}
%
を満たす。
これらの式を\textbf{コーシー・リーマンの関係式}という。
$u(x,y)$,
$v(x,y)$ が偏微分可能で,
すべての偏導関数が連続であるとする。
このとき,
$u(x,y)$,
$v(x,y)$ がコーシー・リーマンの関係式を満たしていれば,
$w=u(x,y)+iv(x,y)$ は正則で,
%
\begin{align*}
\frac{dw}{dz}
=
\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align*}
%
が成り立つ。
%
いろいろな正則関数
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$n$ を自然数とするとき,
$w=z^n$ は全平面で正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(z^n\right)'
=
nz^{n-1}
\end{align*}
%
\item[(2)]
$w=\frac{1}{z}$ は $z=0$ を除く領域で正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(\frac{1}{z}\right)'
=
-\frac{1}{z^2}
\end{align*}
%
\item[(3)]
複素数 $z=x+iy$ に対して,
%
\begin{align*}
e^z
=
e^{x}\left(\cos{y}+i\sin{y}\right)
\end{align*}
%
と定める。
$w=e^{z}$ を(複素関数の)\ommindex{指数関数}{しすうかんすう}という。
このとき,
$w=e^{z}$ は全平面で正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(e^z\right)'
=
e^z
\end{align*}
%
\item[(4)]
複素数 $z=x+iy$ に対して,
%
\begin{align*}
\cos{z}
=
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
\quad
\sin{z}
=
\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
\quad
\tan{z}
=
\frac{e^{z}-e^{-iz}}{i(e^{z}+e^{-iz})}
\end{align*}
%
と定める。
これらの関数を(複素関数の)\ommindex{三角関数}{さんかくかんすう}という。
このとき,
$w=\cos{z}$,
$w=\sin{z}$ は全平面で,
$w=\tan{z}$ は $z=n\pi+\frac{\pi}{2}$ ($n$ は整数) を除く領域で
正則であり,
その導関数について次が成り立つ。
%
\begin{align*}
\left(\cos{z}\right)'
=
-\sin{z},
\quad
\left(\sin{z}\right)'
=
\cos{z},
\quad
\left(\tan{z}\right)'
=
\frac{1}{\cos^2{z}}
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
複素積分
複素積分
%
$x(t)$, $y(t)$ が連続であるとき,
複素平面上の点
%
\begin{align*}
z(t)=x(t)+i\,y(t)
\quad (\alpha\le t\le \beta)
\end{align*}
%
は複素平面上に曲線 C を描く。
この曲線 C を $z=z(t)$ と表す。
$\alpha\le t\le \beta$ を曲線 C の\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。
このとき,
$z(\alpha)$ を\ommindex{始点}{してん},
$z(\beta)$ を\ommindex{終点}{しゅうてん}といい,
$t$ の増加に伴って点 $z(t)$ が移動する向きを曲線 C の
\ommindex{向き}{むき}という。
また,
曲線 C と逆向きの曲線を $-{\text{C}}$ と表す。
$x(t)$, $y(t)$ が微分可能であるとき,
連続な複素関数 $f(z)$ に対して,
%
\begin{align*}
\int_{\text{C}}f(z)\,dz
=
\int_{\alpha}^{\beta}f(z(t))\frac{dz}{dt}\,dt
\end{align*}
%
を,
曲線 ${\text{C}}:z(t)=x(t)+i\,y(t)$ に沿う $f(z)$ の
\ommindex{複素積分}{ふくそせきぶん}という。
複素積分に対して,
実関数の積分を\ommindex{実積分}{じつせきぶん}という。
以下,
複素積分を単に積分という。
%
%
コーシーの積分定理
%
終点と始点が一致する曲線を\ommindex{閉曲線}{へいきょくせん}という。
また,
それ自身と交差しない閉曲線を
\ommindex{単一閉曲線}{たんいつへいきょくせん}という。
単一閉曲線が,
その内部を左手に見て進むとき,
単一閉曲線は\ommindex{正の向き}{せいのむき}ともつという。
以下,
単一閉曲線 C は常に正の向きをもつとする。
複素関数 $f(z)$ が単一閉曲線 C およびその内部を含む領域で正則であるとき,
%
\begin{align*}
\int_{\text{C}}f(z)\,dz=0
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{コーシーの積分定理}{こーしーのせきぶんていり}という。
単一閉曲線 C の内部に,
互いに外部にある単一閉曲線 ${\text{C}}_1$,
${\text{C}}_2$, \ldots , ${\text{C}}_n$ があるとする。
このとき,
$f(z)$ が,
C の内部で ${\text{C}}_1$,
${\text{C}}_2$, \ldots , ${\text{C}}_n$ の外部である領域 D,
およびその境界線上で正則であるとき,
%
\begin{align*}
\int_{\text{C}}f(z)\,dz
=
\sum_{k=1}^{n}\int_{\text{C}_k}f(z)\,dz
\end{align*}
%
が成り立つ。
この定理はコーシーの積分定理によって導かれる。
%
コーシーの積分表示
%
曲線 C を単一閉曲線とする。
関数 $f(z)$ が C およびその内部を含む領域で正則であるとき,
C の内部の任意の点 $a$ に対して,
%
\begin{align*}
f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\text{C}}\frac{f(z)}{z-a}\,dz
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{コーシーの積分表示}{こーしーのせきぶんひょうじ}という。
関数 $f(z)$ が領域 D で正則であるとき,
$f(z)$ は D で何回でも微分可能である。
さらに,
単一閉曲線 {\text{C}} その内部を含む領域で正則であるとき,
{\text{C}} の内部の任意の点 $a$ に対して
%
\begin{align*}
f^{(n)}(a)
=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\text{C}}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz
\quad
(n=0,1,2,\cdots)
\end{align*}
が成り立つ。
これを\ommindex{グルサの公式}{ぐるさのこうしき}という。
%
ローラン展開
複素級数
%
$a$,
$c_n$ を複素数の定数とするとき,
複素数 $z$ についての級数
%
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}c_n (z-a)^n
=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a)^2+\cdots+c_n(z-a)^n+\cdots
\end{align*}
%
を $z=a$ を中心とする\ommindex{べき級数}{べききゅうすう}という。
このべき級数が,
$\left|z-a\right|<R$ のときに収束し,
$\left|z-a\right|>R$ のとき発散するような正の数 $R$ が存在するとき,
$R$ をこのべき級数の\ommindex{収束半径}{しゅうそくはんけい}という。
また,
任意の複素数について収束するときには,
収束半径は無限大であるといい,
$R=\infty$ とかく。
このとき,
円 $\left|z-a\right|=R$ を\ommindex{収束円}{しゅうそくえん}という。
級数 \maru{1} は収束円の内部の任意の $z$ について収束する。
テイラーの定理
%
関数 $f(z)$ が,
点 $a$ を中心とする半径 $R$ の円 C および
その内部を含む領域で正則であるとする。
このとき,
円 C の内部の任意の点 $z$ について,
次のように表すことができる。
%
\begin{align*}
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n
\end{align*}
%
これを\ommindex{テイラーの定理}{ていらーのていり}といい,
この式の右辺を,
$z=a$ を中心とする $f(z)$ の
\ommindex{テイラー展開}{ていらーてんかい}という。
%
マクローリン展開
%
$z=0$ を中心とする $f(z)$ のテイラー展開を
\ommindex{マクローリン展開}{まくろーりんてんかい}という。
いくつかの関数のマクローリン展開と収束半径を挙げる。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle
\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots
\quad
(R=1)$
\item[(2)]
$\displaystyle
e^{z}=1+\frac{z}{\,1!\,}+\frac{z^2}{\,2!\,}+\frac{}{\,3!\,}+\cdots
\quad
(R=\infty)$
\item[(3)]
$\displaystyle
\sin{z}=\frac{z}{\,1!\,}-\frac{z^3}{\,3!\,}+\frac{z^5}{\,5!\,}-\frac{z^7}{\,7!\,}+\cdots
\quad
(R=\infty)$
\item[(4)]
$\displaystyle
\cos{z}=1-\frac{z^2}{\,2!\,}+\frac{z^4}{\,4!\,}-\frac{z^6}{\,6!\,}+\cdots
\quad
(R=\infty)$
\end{enumerate}
%
%
ローラン展開
%
関数 $f(z)$ が $z=a$ で正則でないとき,
$z=a$ を $f(z)$ の\ommindex{特異点}{とくいてん}という。
$z=a$ は $f(z)$ の特異点であるが,
領域 $0<\left|z-a\right|<R$ では $f(z)$ が正則であるような
正の数 $R$ があるとき,
点 $z=a$ を $f(z)$ の\ommindex{孤立特異点}{こりつとくいてん}という。
関数 $f(z)$ が領域 $0<\left|z-a\right|<R$ で正則であるとき,
この領域に含まれる任意の $z$ に対して,
%
\begin{align*}
f(z)
=
\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n
=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}
+
\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n
\end{align*}
%
が成り立つ。
ここで係数 $c_n$ は,
$r$ を $0<r<R$ を満たす任意の数として
%
\begin{align*}
c_n
=
\frac{1}{2\pi i}
\int_{\left|\zeta-a\right|=r}
\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}
\,d\zeta
\end{align*}
%
である
($r$ をどのように選んでも右辺の積分の値は変化しない)。
これを,
$z=a$ を中心とする $f(z)$ の
\ommindex{ローラン展開}{ろーらんてんかい}という。
$z=a$ を中心とする $f(z)$ をローラン展開について,
負のべきを含む項
%
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}
\end{align*}
%
を,
$f(z)$ の\ommindex{主要部}{しゅようぶ}という。
$f(z)$ の孤立特異点 $z=a$ は,
$z=a$ を中心とする $f(z)$ のローラン展開の主要部の状態によって,
次のように分類することができる。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
主要部がないとき,
$z=a$ は $f(z)$ の
\ommindex{除去可能な特異点}{じょきょかのうなとくいてん}であるという。
\item[(2)]
主要部が $0$ ではないが,
有限個の項からなるとき,
すなわち,
%
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{m}\frac{c_{-n}}{(z-a)^n},
\quad
c_{-m}\ne 0
\end{align*}
%
であるような自然数 $m$ があるとき,
$z=a$ は $f(z)$ の
\ommindex{位数}{いすう} $m$ の\ommindex{極}{きょく}
または $m$ 位の極であるという。
とくに,
%
\begin{align*}
\lim_{z\to a}(z-a)^m f(z)\ne 0
\end{align*}
%
であるような自然数 $m$ があれば,
$z=a$ は $f(z)$ の位数 $m$ の極である。
\item[(3)]
主要部が無限個の項を含むとき,
$z=a$ は $f(z)$ の
\ommindex{真性特異点}{しんせいとくいてん}であるという。
\end{enumerate}
%
%
留数定理
%
$z=a$ が $f(z)$ の孤立特異点であるとする。
このとき
%
\begin{align*}
c_{-1}
=
\frac{1}{2\pi i}
\int_{\left|\zeta-a\right|=r}f(\zeta)\,d\zeta
\end{align*}
%
を,
関数 $f(z)$ の $z=a$ における\ommindex{留数}{りゅうすう}といい,
\def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits}
%
\begin{align*}
\Res\left[f(z),a\right]
\end{align*}
%
と表す。
$z=a$ が $f(z)$ の極であり,
その位数 $m$ が分かれば,
$z=a$ における $f(z)$ の留数は
%
\begin{align*}
\Res\left[f(z),a\right]
=
\frac{1}{(m-1)!}
\lim_{z\to a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left\{(z-a)^m f(z)\right\}
\end{align*}
%
で与えられる。
関数 $f(z)$ が単一閉曲線 C をその内部で,
有限個の点 $a_k$ $(k=1,2,\ldots n)$ を除いて正則であるとき,
C に沿う $f(z)$ の積分について
%
\begin{align*}
\int_{\text{C}}f(z)\,dz
=
\sum_{k=1}^{n}\Res\left[f(z),a_k\right]
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{留数定理}{りゅうすうていり}という。
%