フーリエ級数
フーリエ級数
%
関数 $f(x)$ が,
すべての実数 $x$ に対して
%
\begin{align*}
f(x+T)=f(x)
\quad
(\mbox{$T$ は正の定数})
\end{align*}
%
を満たすとき,
$f(x)$ を\ommindex{周期関数}{しゅうきかんすう}といい,
この式を満たす最小の正の数 $T$ を $f(x)$ の
\ommindex{周期}{しゅうき}という。
$\sin{t}$,
$\cos{t}$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。
$f(t)$ が周期 $T$ の関数であるとき,
自然数 $n$ に対して
%
\begin{align*}
a_0
&=
\frac{1}{\,T\,}
\int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}}
f(t)
\,dt
\\
a_n
&=
\frac{2}{\,T\,}
\int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}}
f(t)\cos\frac{2n\pi x}{\,T\,}
\,dt
\\
b_n
&=
\frac{2}{\,T\,}
\int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}}
f(t)\sin\frac{2n\pi x}{\,T\,}
\,dt
\end{align*}
%
と定めるとき,
これらを係数とする級数
%
\begin{align*}
a_0
+
\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n\cos\frac{2n\pi x}{T}
+
b_n\cos\frac{2n\pi x}{T}
\right)
\end{align*}
%
を $f(x)$ の\ommindex{フーリエ級数}{ふーりえきゅうすう}といい,
係数 $a_0$,
$a_n$,
$b_n$ を\ommindex{フーリエ係数}{ふーりえけいすう}という。
$f(x)$ と $f(x)$ のフーリエ級数は必ずしも一致しない。
係数 $a_0$,
$a_n$,
$b_n$ が $f(x)$ のフーリエ係数であるとき,
%
\begin{align*}
f(x)
\sim
a_0
+
\sum_{n=1}^{\infty}
\left(
a_n\cos\frac{2n\pi x}{T}
+
b_n\cos\frac{2n\pi x}{T}
\right)
\end{align*}
%
と表す。
%
フーリエ級数の収束定理
%
区分的に滑らかな周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数は,
%
\begin{align*}
\widetilde{f}(x)=\frac{1}{\,2\,}\left\{f(x-0)+f(x+0)\right\}
\end{align*}
%
に収束する。
これを\ommindex{フーリエ級数の収束定理}{ふーりえきゅうすうのしゅうそくていり}という。
%
フーリエ余弦級数・正弦級数
%
$L$ を正の定数とし,
$f(x)$ を $0\le x \le L$ で定義された
区分的に滑らかな関数であるとする。
このとき,
実数全体で定義された関数 $f_{\text{e}}(x)$ を
%
\begin{align*}
f_{\text{e}}(x)
=
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & (0\le x \le L)
\\
f(-x) & (-L< x <0)
\end{array}\right.,
\quad
f_{\text{e}}(x+2L)=f_{\text{e}}(x)
\end{align*}
%
と定めると,
$f_{\text{e}}(x)$ は $f(x)$ を周期 $T=2L$ の偶関数に拡張した関数となる。
このとき,
$f_{\text{e}}(x)$ のフーリエ係数は
%
\begin{align*}
a_0
&=
\frac{1}{\,L\,}\int_{0}^{L}f(x)\,dx
\\
a_n
&=
\frac{2}{\,L\,}\int_{0}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{\,L\,}\,dx
\end{align*}
%
となるから,
区間 $[0,L]$ では,
%
\begin{align*}
\widetilde{f}(x)
&=
a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos\frac{n\pi x}{L}\,dx
\quad (0\le x \le L)
\end{align*}
%
が成り立つ。
右辺の級数を\ommindex{フーリエ余弦級数}{ふーりえよげんきゅうすう}という。
また,
関数 $f_{\text{o}}(x)$ を
%
\begin{align*}
f_{\text{o}}(x)
=
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & (0\le x \le L)
\\
-f(-x) & (-L< x <0)
\end{array}\right.,
\quad
f_{\text{o}}(x+2L)=f_{\text{e}}(x)
\end{align*}
%
と定めると,
$f_{\text{o}}(x)$ のフーリエ係数は
%
\begin{align*}
a_n=0 \ (n=0,1,2,\ldots ),
\quad
b_n
&=
\frac{2}{\,L\,}\int_{0}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{\,L\,}\,dx
\end{align*}
%
となるから,
区間 $[0,L]$ では,
%
\begin{align*}
\widetilde{f}(x)
&=
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\,dx
\quad (0\le x \le L)
\end{align*}
%
が成り立つ。
右辺の級数を\ommindex{フーリエ正弦級数}{ふーりえせいげんきゅうすう}という。
%
複素フーリエ級数
%
区分的に滑らかな周期 $T$ の周期関数 $f(x)$ に対して,
%
\begin{align*}
c_n
=\frac{1}{T}
\int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}}
f(x)e^{-i\,\frac{2n\pi }{T}x}\,dx
\quad
(n=0,\pm 1, \pm 2,\ldots )
\end{align*}
%
と定めると,
$f(x)$ のフーリエ級数は
%
\begin{align*}
f(x)
\sim
\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i\,\frac{2n\pi }{T}x}
\end{align*}
%
の形となる。
この式の右辺を $f(x)$ の
\ommindex{複素フーリエ級数}{ふくそふーりえきゅうすう}といい,
$c_n$ を\ommindex{複素フーリエ係数}{ふくそふーりえけいすう}という。
離散スペクトル
%
$\sin{\omega x}$ に対して,
$\omega$ をこれらの関数の\ommindex{角周波数}{かくしゅうはすう}という。
指数関数
%
\begin{align*}
e^{i\,\frac{2n\pi }{T}x}
=
\cos{\frac{2n\pi }{T}x}+i\sin{\frac{2n\pi }{T}x}
\end{align*}
%
は,
角周波数が $\displaystyle \frac{2n\pi }{T}$ の関数である。
したがって,
$\left|c_n\right|$ は,
$f(x)$ に角周波数が $\displaystyle \frac{2n\pi }{T}$ の三角関数が
どれくらい含まれているかを示す値である。
これを $f(x)$ の\ommindex{離散スペクトル}{りさんすぺくとる}という。
%
フーリエ変換
フーリエ変換
%
広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|f(x)\right|\,dx$ が
存在する関数 $f(x)$ に対して
%
\begin{align*}
F(\omega )
=
\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}
\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\,\omega x}\,dx
\end{align*}
%
を $f(x)$ の\ommindex{フーリエ変換}{ふーりえへんかん}といい,
$\Fou{\left[f(x)\right]}$ と表す。
$a$, $b$ が定数であるとき
%
\begin{align*}
{\cal F}[af(x)+bg(x)]=a{\cal F}[f(x)]+b{\cal F}[g(x)]
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを
\ommindex{フーリエ変換の線形性}{ふーりえへんかんのせんけいせい}という。
さらに,
$F(\omega)$ を $f(x)$ のフーリエ変換とするとき,
次の性質が成り立つ。
ただし,
$a$, $c$ は定数で,
$a\ne 0$ であるとする。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\Fou{\left[f(x-c)\right]}
=e^{-ic\omega}F(\omega)$
\item[(2)]
$\Fou{\left[e^{icx}f(x)\right]}
=F(\omega-c)$
\item[(3)]
$\Fou{\left[f(ax)\right]}
=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$
\item[(4)]
$\Fou{\left[\displaystyle f'(x)\right]}
=i \,\omega F(\omega)$
\item[(5)]
$\Fou{\left[\displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt \right]}
=\displaystyle\frac{1}{i \omega}F(\omega)$
\end{enumerate}
%
フーリエ積分定理
$F(\omega)$ を $f(x)$ のフーリエ変換とするとき,
%
\begin{align*}
\frac{1}{\,\sqrt{2\pi}\,}
\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\,\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
を $F(\omega)$ の\ommindex{逆フーリエ変換}{ぎゃくふーりえへんかん}といい,
$\Fouinv{\left[F(\omega)\right]}$で表す。
関数 $f(x)$ を,
実数全体で定義された区分的に滑らかな関数で,
広義積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |f(x)|\,dx$ が
存在するものとするとき,
%
\begin{align*}
\Fouinv{\left[\Fou{\left[f(x)\right]}\right]}
=
\frac{1}{\,2\,}\{f(x-0)+f(x+0)\}
\end{align*}
%
が成り立つ。
これを\ommindex{フーリエ積分定理}{ふーりえせきぶんていり}という。
$f(x)$ が連続ならば,
この式の右辺は $f(x)$ と等しい。
フーリエ積分定理を,
フーリエ級数と同じ記号を用いて
%
\begin{align*}
F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\,\omega x}\,dx,
\quad
f(x)
\sim
\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}
F(\omega)e^{i\,\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
と表す。
これを\ommindex{反転公式}{はんてんこうしき}という。
% %
フーリエ余弦変換・正弦変換
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$f(x)$ が偶関数のとき,
%
\begin{align*}
C(\omega)=2\int_0^{\infty}f(x)\cos{\omega x}\,dx
\end{align*}
%
と定めれば,
$F(\omega)=C(\omega)$ となる。
$C(\omega)$ を\ommindex{フーリエ余弦変換}{ふーりえよげんへんかん}という。
このとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
f(x)
\sim
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}
C(\omega)\cos{\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
\item[(2)]
$f(x)$ が奇関数のとき,
%
\begin{align*}
S(\omega)=2\int_0^{\infty}f(x)\sin{\omega x}\,dx
\end{align*}
%
と定めれば,
$F(\omega)=-iS(\omega)$ となる。
$S(\omega)$ を\ommindex{フーリエ正弦変換}{ふーりえせいげんへんかん}という。
このとき,
次が成り立つ。
%
\begin{align*}
f(x)
\sim
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}S(\omega)\sin{\omega x}\,d\omega
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
離散フーリエ変換
%
$f(x)$ を周期 $T$ の周期関数であるとする。
区間 $[0,T]$ を $N$ 等分したときの
分点 $x_k=$ に対する関数 $f(x)$ の値を
%
\begin{align*}
f_k=f\left(\frac{kT}{\,N\,}\right)
\quad
(k=0,1,2,\ldots ,N-1)
\end{align*}
%
とする。
このとき,
%
\begin{align*}
F_n=\frac{1}{\,N\,}\sum_{f_k}e^{-\frac{2\pi kn}{\,N\,}}
\end{align*}
%
で定められる複素数列 $\{F_1,F_2,\ldots ,F_{N-1}$ を,
\ommindex{離散フーリエ変換}{りさんふーりえへんかん}または
\ommindex{DFT}{DFT}という。
$\{F_n\}$ から $\{f_k\}$ を求める関係式は
%
\begin{align*}
f_k=\sum_{n=0}^{N-1}F_n e^{i\frac{2\pi nk}{\,N\,}}
\end{align*}
%
となり,
これを\ommindex{逆離散フーリエ変換}{ぎゃくりさんふーりえへんかん}という。
$\alpha=e^{-\frac{2\pi}{\,N\,}}$ とおくとき,
$f_k$ と $F_n$ の関係は,
行列の積
%
\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}
F_0 \\ F_1 \\ F_2 \\ \vdots \\ F_{N-1}
\end{array}\right)
=
\frac{1}{N}
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1
\\
1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{N-1}
\\
1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(N-1)}
\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
1 & \alpha^{N-1} & \alpha^{2(N-1)} & \cdots & \alpha^{(N-1)^2}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
f_0 \\ f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_{N-1}
\end{array}\right)
\end{align*}
%
で表される。
離散フーリエ変換を求めるために,
右辺の行列の積を工夫して計算回数を減らしたものが,
\ommindex{高速フーリエ変換}{こうそくふーりえへんかん}または
\ommindex{FFT}{FFT}と呼ばれるものである。
%