集合
集合
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ものの集まりを\ommindex{集合}{しゅうごう}といい,
集合に含まれる一つ一つのものをその集合の
\ommindex{要素}{ようそ}という。
$a$ が集合 $A$ の要素であるとき, $a$ は $A$ に
\ommindex{属する}{ぞくする}といい,
$a\in A$ または $A\ni a$ と表す。
また $a$ が $A$ の要素でないことを $a\notin A$ または $A\notin a$ と表す。
ある集合を考えるときの,
考察の対象となるもの全体を
\ommindex{全体集合}{ぜんたいしゅうごう}という。
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部分集合
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$A$ のすべての要素が $B$ の要素であるとき,
$A$ は $B$ の
\ommindex{部分集合}{ぶぶんしゅうごう}である,
または,
$A$ は $B$ に
\ommindex{含まれる}{ふくまれる}といい,
$A\subset B$ または $B\supset A$ と表す。
$A\subset B$ かつ $B\subset A$ のとき,
$A$ と $B$ は等しいといい,
$A=B$ と表す。
とくに,
$A$ 自身も $A$ の部分集合である。
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共通部分と和集合
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2つの集合 $A$, $B$ に対して,
$A$ と $B$ の両方に含まれる要素全体の集合を
$A$ と $B$ の\ommindex{共通部分}{きょうつうぶぶん}といい,
$A\cap B$ と表す。
また,
$A$ と $B$ のどちらかに含まれる要素全体の集合を
$A$ と $B$ の\ommindex{和集合}{わしゅうごう}といい,
$A\cup B$ と表す。
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補集合と空集合
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全体集合を $U$ とするとき,
集合 $A$ に対して,
$A$ に属さない要素全体の集合を $A$ の
\ommindex{補集合}{ほしゅうごう}といい,
$\overline{A}$ で表す。
すなわち,
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\[
\overline{A}=\{x\in U\,|\, x\notin A\}
\]
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である。
また,
要素をもたない集合を
\ommindex{空集合}{くうしゅうごう}といい,
記号 $\phi$ で表す。
全体集合, 補集合, 空集合について次の関係が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$A\cap \overline{A}=\phi$
\item[(2)]
$A\cup \overline{A}=U$
\item[(3)]
$\overline{U}=\phi$
\item[(4)]
$\overline{\phi}=U$
\item[(5)]
$\overline{\overline{A}}=A$
\end{enumerate}
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ド・モルガンの法則
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$A\cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合であるから,
その補集合は $A$ か $B$ のどちらかに含まれない。
すなわち
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\begin{align*}
\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}
\end{align*}
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が成り立つ。
また,
$A\cup B$ の要素は $A$ か $B$ のどちらかに含まれるから,
その補集合は $\overline{A\cup B}$ の要素は $A$ にも $B$ にも含まれない。
すなわち
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\begin{align*}
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}
\end{align*}
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が成り立つ。
これらの法則を\ommindex{ド・モルガンの法則}{どもるがんのほうそく}という。
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数の集合
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数の集合は,
次の記号で表されることが多い。
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\begin{enumerate}
\item
$\textbf{N}$ ： 自然数全体の集合
\item
$\textbf{Z}$ ： 有理数全体の集合
\item
$\textbf{R}$ ： 実数全体の集合
\item
$\textbf{C}$ ： 複素数全体の集合
\end{enumerate}
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