命題

% それが正しいか正しくないかの判断の対象となる 文または式を\ommindex{命題}{めいだい}という。 命題が正しいことを\ommindex{真}{しん}である, 正しくないことを\ommindex{偽}{ぎ}であるという。 文字を含む文や式で, 文字の値によって真偽が定まるものを\ommindex{条件}{じょうけん}という。 条件 $p$ に対して, $p$ でないという条件を $p$ の\ommindex{否定}{ひてい}といい, $\overline{p}$ などで表す。 %

% 条件 $p$ を満たすもの全体の集合を, 条件 $p$ の\ommindex{真理集合}{しんりしゅうごう}という。 条件 $p$, $q$ の真理集合をそれぞれ $P$, $Q$ とする。 命題「$p$ ならば $q$」は, $P\subset Q$ であるときに限って真であると定める。 したがって, $p$ であるが $q$ でない例があれば, この命題は偽である。 このような例を\ommindex{反例}{はんれい}という。 $p$ をこの命題の\ommindex{仮定}{かてい}, $q$ をこの命題の\ommindex{結論}{けつろん}という。 %

% 命題「$p$ ならば $q$ である」が真であるとき, $p \Longrightarrow q$ と表す。 $p \Longrightarrow q$ であるとき, % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] 条件 $q$ を, $p$ であるための\ommindex{必要条件}{ひつようじょうけん} \item[$\bullet$] 条件 $p$ を, $q$ であるための\ommindex{十分条件}{じゅうぶんじょうけん} \end{enumerate} % という。 $p \Longrightarrow q$ かつ $q \Longrightarrow p$ であるとき, 記号 % \[ p \Longleftrightarrow q \] % で表し, $q$ は $p$ であるための \ommindex{必要十分条件}{ひつようじゅうぶんじょうけん}であるという。 このとき, $p$ は $q$ であるための必要十分条件でもある。 $p$ と $q$ は\ommindex{同値}{どうち}であるという。 %