2次式
%
$a$, $b$, $c$ が定数であるとき,
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c \quad (a\ne 0)
\end{align*}
%
を $x$ についての\ommindex{2次式}{にじしき}という。
2次式は
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c
=
a\left\{\left(x+\frac{b}{\,2a\,}\right)^2
-
\frac{b^2-4ac}{\,4a^2\,}\right\}
\end{align*}
%
と変形することができる。
右辺の形の式を2次式の\ommindex{完全平方形}{かんぜんへいほうけい}という。
複素数も許容すれば,
この式はさらに
%
\begin{align*}
&
ax^2+bx+c
\\
&=
a\left\{
\left(x+\frac{b}{\,2a\,}\right)^2
-
\sqrt{\frac{b^2-4ac}{\,4a^2\,}}^2
\right\}
\\
&=
a
\left(
x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{\,2a\,}
\right)
\left(
x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{\,2a\,}
\right)
\end{align*}
%
と因数分解することができる。
%
2次式の符号
%
$x$ についての2次式 $ax^2+bx+c$ ($a\ne 0$) について,
式
%
\begin{align*}
D=b^2-4ac
\end{align*}
%
を\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。
判別式を用いれば,
2次式の完全平方形は
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c
=
a\left\{\left(x+\frac{b}{\,2a\,}\right)^2
-
\frac{D}{\,4a^2\,}\right\}
\end{align*}
%
と表すことができる。
したがってその符号について,
次のことが成り立つ。,
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$a>0$,
$b^2-4ac<0$ のとき,
任意の実数 $x$ に対して
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c>0
\end{align*}
%
である。
このとき,
2次式は\ommindex{正定値}{せいていち}であるという。
\item[(2)]
$a>0$,
$b^2-4ac=0$ のとき,
任意の実数 $x$ に対して
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c\ge 0
\end{align*}
%
である。
等号は $x=-\frac{b}{2a}$ のときに限って成り立つ。
このとき,
2次式は\ommindex{準正定値}{じゅんせいていち}であるという。
\item[(3)]
$a<0$,
$b^2-4ac<0$ のとき,
任意の実数 $x$ に対して
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c<0
\end{align*}
%
である。
このとき,
2次式は\ommindex{負定値}{ふていち}であるという。
\item[(4)]
$a<0$,
$b^2-4ac=0$ のとき,
任意の実数 $x$ に対して
%
\begin{align*}
ax^2+bx+c\le 0
\end{align*}
%
である。
等号は $x=-\frac{b}{2a}$ のときに限って成り立つ。
このとき,
2次式は\ommindex{準負定値}{じゅんふていち}であるという。
\end{enumerate}
%
%