数学・工学事典

2次式

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2次式

% $a$, $b$, $c$ が定数であるとき, % \begin{align*} ax^2+bx+c \quad (a\ne 0) \end{align*} % を $x$ についての\ommindex{2次式}{にじしき}という。 2次式は % \begin{align*} ax^2+bx+c = a\left\{\left(x+\frac{b}{\,2a\,}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{\,4a^2\,}\right\} \end{align*} % と変形することができる。 右辺の形の式を2次式の\ommindex{完全平方形}{かんぜんへいほうけい}という。 複素数も許容すれば, この式はさらに % \begin{align*} & ax^2+bx+c \\ &= a\left\{ \left(x+\frac{b}{\,2a\,}\right)^2 - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{\,4a^2\,}}^2 \right\} \\ &= a \left( x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{\,2a\,} \right) \left( x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{\,2a\,} \right) \end{align*} % と因数分解することができる。 %

2次式の符号

% $x$ についての2次式 $ax^2+bx+c$ ($a\ne 0$) について, 式 % \begin{align*} D=b^2-4ac \end{align*} % を\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。 判別式を用いれば, 2次式の完全平方形は % \begin{align*} ax^2+bx+c = a\left\{\left(x+\frac{b}{\,2a\,}\right)^2 - \frac{D}{\,4a^2\,}\right\} \end{align*} % と表すことができる。 したがってその符号について, 次のことが成り立つ。, % \begin{enumerate} \item[(1)] $a>0$, $b^2-4ac<0$ のとき, 任意の実数 $x$ に対して % \begin{align*} ax^2+bx+c>0 \end{align*} % である。 このとき, 2次式は\ommindex{正定値}{せいていち}であるという。 \item[(2)] $a>0$, $b^2-4ac=0$ のとき, 任意の実数 $x$ に対して % \begin{align*} ax^2+bx+c\ge 0 \end{align*} % である。 等号は $x=-\frac{b}{2a}$ のときに限って成り立つ。 このとき, 2次式は\ommindex{準正定値}{じゅんせいていち}であるという。 \item[(3)] $a<0$, $b^2-4ac<0$ のとき, 任意の実数 $x$ に対して % \begin{align*} ax^2+bx+c<0 \end{align*} % である。 このとき, 2次式は\ommindex{負定値}{ふていち}であるという。 \item[(4)] $a<0$, $b^2-4ac=0$ のとき, 任意の実数 $x$ に対して % \begin{align*} ax^2+bx+c\le 0 \end{align*} % である。 等号は $x=-\frac{b}{2a}$ のときに限って成り立つ。 このとき, 2次式は\ommindex{準負定値}{じゅんふていち}であるという。 \end{enumerate} % %