分数式
%
$A$, $B$ を多項式 ($B\ne 0$) とするとき,
$\frac{A}{B}$ を\ommindex{分数式}{ぶんすうしき}という。
分母と分子に共通因数がない分数式を
\ommindex{既約分数式}{きやくぶんすうしき}という。
分数式の計算は次のように行う。
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\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{A}{B}\times\frac{C}{D}
=\frac{AC}{BD}$
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{A}{B}÷\frac{C}{D}
=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}
=\frac{AD}{BC}$
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{A}{C}\pm \frac{B}{C}
=
\frac{A\pm B}{C}$ (複号同順)
\end{enumerate}
%
%
%
繁分数
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分子や分母に分数式が含まれる分数式を
\ommindex{繁分数式}{はんぶんすうしき}という。
繁分数式は,
次のようにして簡単な分数式に変形できる。
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\[
\frac{\displaystyle \frac{A}{B}}{\displaystyle \frac{C}{D}}
=
\frac{\displaystyle \frac{A}{B}\times BD}{\displaystyle \frac{C}{D}\times BD}
=
\frac{AD}{BC}
\]
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分母の有理化・分子の有理化
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分母に無理式を含んだ分数式を,
次のようにして,
有理式を分母とする分数式にすることを
\ommindex{分母の有理化}{ぶんぼのゆうりか}という。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$a$ が正の数のとき,
%
\begin{align*}
\frac{1}{\,\sqrt{a}\,}
=
\frac{\sqrt{a}}%
{\,\left(\sqrt{a}\right)^2\,}
=
\frac{\sqrt{a}}{\,a\,}
\end{align*}
%
\item[(2)]
$a$ と $b$ が異なる正の数のとき,
%
\begin{align*}
\frac{1}{\,\sqrt{a}+\sqrt{b}\,}
=
\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}%
{\,(\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)(\sqrt{a}-\sqrt{b}\,)\,}
=
\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\,a-b\,}
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
また,
分子に無理式を含んだ分数式を,
次のようにして,
有理式を分子とする分数式にすることを
\ommindex{分子の有理化}{ぶんしのゆうりか}という。
%
\begin{align*}
\,\sqrt{a}-\sqrt{b}
=
\frac{\,(\sqrt{a}-\sqrt{b}\,)(\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)\,}%
{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
=
\frac{\,a-b\,}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
\end{align*}
%
%
部分分数分解
%
分母が因数分解された分数式は,
分母の因数を分母とする分数式の和に変形することができる。
これを\ommindex{部分分数分解}{ぶぶんぶんすうぶんかい}という。
部分分数分解は次のように行う。
%
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{F(x)}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}$
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{F(x)}{(x+a)(x^2+bx+c)}
=
\frac{A}{x+a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{F(x)}{(x+a)^2}
=
\frac{A}{x+a}+\frac{B}{(x+a)^2}$
\item[$\bullet$]
$\displaystyle \frac{F(x)}{(x^2+bx+c)^2}
=
\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}+\frac{Cx+D}{(x^2+bx+c)^2}$
\end{enumerate}
%
ここで,
$F(x)$ は次数が分母の次数より低い多項式,
$a$, $b$, $c$, $A$, $B$, $C$, $D$ は定数であり,
(1), (2) において分母の因数は互いに素であるとする。