関数

集合 $X$ の各要素 $x$ に対して, 実数 $y$ をただ1つ対応させる規則があるとき, その規則を, \ommindex{定義域}{ていぎいき}を $X$ とする \ommindex{関数}{かんすう}という。 関数によって $x$ に対応する $y$ の値を $f(x)$ とかく。 記号 $f(x)$ を\ommindex{関数記号}{かんすうきごう}という。 このとき, 集合 $Y=\{f(x)\,|\,x\in X\}$ をこの関数の \ommindex{値域}{ちいき}という。 以下, この項目では, $X$ は実数の部分集合とする。 %

% $I$ を, 関数 $f(x)$ の定義域に含まれる区間であるとする。 $I$ の任意の点 $x_1$, $x_2$ に対して, % \begin{align*} x_1<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x_1)<f(x_2) \end{align*} % が成り立つとき, $f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{単調増加}{たんちょうぞうか}であるという。 また, % \begin{align*} x_1<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x_1)>f(x_2) \end{align*} % が成り立つとき, $f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{単調減少}{たんちょうげんしょう}であるという。 $f(x)$ が増加であるか減少であるかの状態を \ommindex{関数の増減}{かんすうのぞうげん}という。 関数 $f(x)$ が単調増加または単調減少であるとき, $f(x)$ は\ommindex{単調}{たんちょう}であるという。 %

% $I$ を, 関数 $f(x)$ の定義域に含まれる区間であるとする。 $I$ の任意の点 $x_1$, $x_2$ に対して, % \begin{align*} x_1<x<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \end{align*} % が成り立つとき, $f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{下に凸}{したにとつ}であるという。 また, % \begin{align*} x_1<x<x_2 \quad \mbox{ならば} \quad f(x)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \end{align*} % が成り立つとき, $f(x)$ は区間 $I$ で\ommindex{上に凸}{うえにとつ}であるという。 $f(x)$ が下に凸であるか上に凸であるかの状態を \ommindex{関数の凹凸}{かんすうのおうとつ}という。 %

% 座標平面上の点集合 % \begin{align*} \text{C}=\{(x,y)\,|\,y=f(x)\} \end{align*} % を関数 $y=f(x)$ の\ommindex{グラフ}{ぐらふ}という。 一般に, 関数のグラフは平面上の曲線となる。 \vspace \ommindex{グラフの平行移動}{へいこういどう}　 $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して, 点 $(a+p,b+q)$ は $y=f(x-p)+q$ のグラフ上の点である。 したがって, $y=f(x-p)+q$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸の 正の方向に $p$, $y$ 軸の正の方向に $q$ だけ平行移動したものである。 \vspace \ommindex{グラフの対称移動}{たいしょういどう}　 % \begin{enumerate} \item[(1)] $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して, 点 $(a,-b)$ は $y=-f(x)$ のグラフ上の点である。 したがって, $y=-f(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと $y$ 軸に関して対称である。 \item[(2)] $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して, 点 $(-a,b)$ は $y=f(-x)$ のグラフ上の点である。 したがって, $y=f(-x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸に関して対称である。 \item[(3)] $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して, 点 $(-a,-b)$ は $y=-f(-x)$ のグラフ上の点である。 したがって, $y=f(-x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと原点に関して対称である。 \end{enumerate} \vspace \noindent \ommindex{グラフの拡大}{かくだい}　 $k\ne 0$ であるとする。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して, 点 $(a,kb)$ は $y=kf(x)$ のグラフ上の点である。 したがって, $y=kf(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $k$ 倍したものである。 \item[(2)] $y=f(x)$ のグラフ上の任意の点 $(a,b)$ に対して, 点 $(ka,b)$ は $y=f\left(\frac{x}{k}\right)$ のグラフ上の点である。 したがって, $y=f\left(\frac{x}{k}\right)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $k$ 倍したものである。 \end{enumerate} %

% 関数 $f(x)$ の定義域 $X$ に含まれる任意の点 $x$ に対して, $-x$ もまた $X$ に含まれているとする。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $f(-x)=f(x)$ が成り立つとき, $f(x)$ は\ommindex{偶関数}{ぐうかんすう}であるという。 偶関数のグラフは $y$ 軸に関して対称である。 \item[(2)] $f(-x)=-f(x)$ が成り立つとき, $f(x)$ は\ommindex{奇関数}{きかんすう}であるという。 偶関数のグラフは原点に関して対称である。 \end{enumerate} %

% 2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり, $f(x)$ の値域が $g(x)$ の定義域に含まれているとする。 このとき, 関数 $f(g(x))$ を $f(x)$ と $g(x)$ の \ommindex{合成関数}{ごうせいかんすう}という。 %

% 関数 $f(x)$ は区間 $X$ を定義域とする単調な関数であるとする。 このとき, $f(x)$ の値域 $Y$ に含まれる任意の $y$ に対して, $y=f(x)$ となる $x$ がただ1つ定まる。 $y$ に対して $x$ を対応させる関数を $y=f(x)$ の \ommindex{逆関数}{ぎゃくかんすう}といい, $x=f^{-1}(y)$ と表す。 定義から, % \begin{align*} f^{-1}\left(f(x)\right)=x , \quad f\left(f^{-1}(y)\right)=y \end{align*} % が成り立つ。 %