三角形

% 通常, $\bigtriangledown\text{ABC}$ を扱うときは, 各頂点の内角の大きさを, 頂点と同じアルファベットを用いて % \begin{align*} \angle\text{A}=A , \quad \angle\text{B}=B , \quad \angle\text{C}=C \end{align*} % と表す。 また, 各頂点の対辺の長さを, 頂点と同じアルファベットの小文字を用いて % \begin{align*} \text{BC}=a , \quad \text{CA}=b , \quad \text{AB}=c \end{align*} %$$, と表す。 以下, この項目ではこの記号を使う。 %

% 三角形の外接円 (3つの頂点を通る円) の半径を $R$ とするとき, % \begin{align*} \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} = 2R \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{正弦定理}{せいげんていり}という。 %

% 角 $C=90^{\circ}$ の場合には, 三平方の定理 % \begin{align*} c^2=a^2+b^2 \end{align*} % が成り立つ。 $C$ がどんな大きさであっても, % \begin{align*} c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C} \end{align*} % が成り立つ。 $C=90^{\circ}$ のとき $\cos{C}=0$ であるから, 三平方の定理をなる。 $a$, $b$, $c$ を入れ替えれば, 任意の三角形について % \begin{align*} a^2 &=b^2+c^2-2bc\cos{A} \\ b^2 &=c^2+a^2-2ca\cos{B} \\ c^2 &=a^2+b^2-2ab\cos{C} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{余弦定理}{よげんていり}という。 これらは辺の長さを求める公式であるが, 角の大きさを求める場合には, 次の形で用いられる。 % \begin{align*} \cos{A} &=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos{B} &=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\ \cos{C} &=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align*} % %

% 三角形の面積を $S$ とすれば % \begin{align*} S = \frac{1}{\,2\,}ab\sin{C} = \frac{1}{\,2\,}bc\sin{A} = \frac{1}{\,2\,}ca\sin{B} \end{align*} % が成り立つ。 %

% 三角形の面積 $S$ は, 辺の長さだけを用いて表すことができる。 $s=a+b+c$ とするとき % \begin{align*} S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{ヘロンの公式}{へろんのこうしき}という。 %