極座標

% 角 $\theta$ に対する動径と, 原点を中心とする半径 $r$ との交点 P の位置を, $(r,\theta)$ と表すとき, これを点 P の\ommindex{極座標}{きょくざひょう}という。 極座標が定められた平面を \ommindex{極座標平面}{きょくざひょうへいめん}といい, 極座標平面では原点を\ommindex{極}{きょく}, $x$ 軸の正の部分を\ommindex{始線}{しせん}という。 %

% 極座標平面上の点 P$(r,\theta)$において, $r$ が$\theta$ の関数として $r=f(\theta)$ と表されているとする。 このとき, $\theta$ の値が変化すると, 点 P$(r,\theta)$ の原点からの距離 $\text{OP}=r$ が変化し, 点 P は平面上の曲線を描く。 $r=f(\theta)$ をこの曲線の \ommindex{極方程式}{きょくほうていしき}という。 より一般に, ある曲線上の点が満たす条件を $r$ と $\theta$ の 関係式として表したものも含めて極方程式という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] 原点を中心とする半径 $a$ の円の極方程式は $r=a$ である。 \item[(2)] 原点Oを始点とし 始線 OX となす角が $\alpha$ であるような半直線の極方程式は $\theta =\alpha$ である。 \end{enumerate} % %

% $f(\theta)$ が $f(\theta)$ を満たす単調関数であるとき, 極方程式 $r=f(\theta)$ が表す曲線は, 回転とともに極からの距離が増加または減少し続けていく。 このような性質をもつ曲線を\ommindex{螺旋}{らせん}という。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $a$, $b$ を $a\ge 0$, $b\ge 0$ を満たす定数とするとき, 極方程式 $r=a+b\theta$ $(\theta\ge 0)$ で表される 曲線を\ommindex{アルキメデスの螺旋}{あるきめですのらせん}という。 \item[(2)] $a$, $b$ が正の定数のとき, 極方程式 $r=a e^{b\theta}$ で表される螺旋を \ommindex{等角螺旋}{とうかくらせん} または\ommindex{対数螺旋}{たいすうらせん}という。 等角螺旋 C 上の点を P とすると, P における C の接線と, 動径 OP のなす角は常に一定である。 \end{enumerate} % 次の図はアルキメデスの螺旋 $r=1+\theta$ および等角螺旋 $1+e^{\frac{\theta}{\,2\,}}$ である。 %=video:/media/2014/08/02/140690733898074100.jpg: %=video:/media/2014/08/02/140690733904091700.jpg:

% $a$を正の定数とする。 半径が $a$ である円 C の外部を, 同じ大きさの円 C$_0$ が滑らずに1周するとき, 円周上の点 P が描く図形を\ommindex{カージオイド}{かーじおいど} または\ommindex{心臓形}{しんぞうけい}という。 円 C が極座標で $(a,0)$ を中心とする半径 $a$ の円であり, 出発点において, 円 C$_0$ の中心が $(3a,0)$, 点 P が $(4a,0)$ の位置にあるとき, 点が P 描くカージオイドの極方程式は % \begin{align*} r=2a(1+\cos{\theta}) \end{align*} % となる。 % %=video:/media/2014/08/02/140690861103644300.jpg: