ベクトルの内積と外積
内積
%
ベクトル $\vt{a}$,
$\vt{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき,
%
\begin{align*}
\vt{a}\bdot\vt{b}
=
\left|\vt{a}\right|
\left|\vt{b}\right|
\cos{\theta}
\end{align*}
%
をベクトル $\vt{a}$ と $\vt{b}$ の
\ommindex{内積}{ないせき}という。
$\vt{a}$,
$\vt{b}$ が
$\vt{a}
=
a_x\vt{i}
+
a_y\vt{j}
+
a_z\vt{k}$,
$\vt{b}
=
b_x\vt{i}
+
b_y\vt{j}
+
b_z\vt{k}$ であるとき,
$\vt{a}$,
$\vt{b}$ の
\ommindex{内積の成分表示}{ないせきのせいぶんひょうじ}は
%
\begin{align*}
\vt{a}\,\bdot\vt{b}
=
a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
\end{align*}
%
となる。
%
内積の性質
%
任意のベクトル $\vt{a}$,
$\vt{b}$,
$\vt{c}$ と,
実数 $k$ に対して,
次の内積の性質が成り立つ。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\vt{a\cdot a}\ge 0$,
とくに,
$\vt{a\cdot a}=0
\ \Longleftrightarrow \
\vt{a}=\vt{0}$
\item[(2)]
$\vt{a\cdot b}
=
\vt{b\cdot a}$
\item[(3)]
$\left(k\vt{a}\right)\,\bdot\,\vt{b}
=
\vt{a}\,\bdot\left(k\vt{b}\right)
=
k\left(\vt{a}\,\bdot\,\vt{b}\right)$
\item[(4)]
$\vt{a}\,\bdot\,
\left(\vt{b}+\vt{c}\right)
=
\vt{a}\,\bdot\,\vt{b}
+
\vt{a}\,\bdot\,\vt{c}$
\end{enumerate}
%
%
外積
%
ベクトル $\vt{a}$,
$\vt{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき,
次の性質をもつ
ベクトル $\vt{a}\times\vt{b}$ を,
ベクトル $\vt{a}$ と $\vt{b}$ の
\ommindex{外積}{がいせき}という。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\left|\vt{a}\times\vt{b}\right|
=
\left|\vt{a}\right|
\left|\vt{b}\right|
\left|\sin{\theta}\right|$
\item[(2)]
$(\vt{a}\times\vt{b})\,\bdot\,\vt{a}=0$,
$\quad$
$(\vt{a}\times\vt{b})\,\bdot\,\vt{b}=0$
\item[(3)]
$\vt{a}\times\vt{b}
\ne\vt{0}$ のとき,
$\vt{a}$,
$\vt{b}$,
$\vt{a}\times\vt{b}$ は
この順で右手系をなす。
\end{enumerate}
%
$\vt{a}$,
$\vt{b}$ が
$\vt{a}
=
a_x\vt{i}
+
a_y\vt{j}
+
a_z\vt{k}$,
$\vt{b}
=
b_x\vt{i}
+
b_y\vt{j}
+
b_z\vt{k}$ であるとき,
$\vt{a}$,
$\vt{b}$ の
\ommindex{外積の成分表示}{がいせきのせいぶんひょうじ}は
%
\begin{align*}
\vt{a}\times\vt{b}
&=
\left|\begin{array}{ccc}
\vt{i} & a_x & b_x
\\
\vt{j} & a_y & b_y
\\
\vt{k} & a_z & b_z
\end{array}\right|
\\
&=
\left|\begin{array}{cc} a_y & b_y \\ a_z & b_z\end{array}\right|
\vt{i}
-
\left|\begin{array}{cc} a_x & b_x \\ a_z & b_z\end{array}\right|
\vt{j}
+
\left|\begin{array}{cc} a_x & b_x \\ a_y & b_y\end{array}\right|
\vt{k}
\end{align*}
%
となる。
%
外積の性質
%
任意のベクトル $\vt{a}$,
$\vt{b}$,
$\vt{c}$ と,
実数 $k$ に対して,
次の外積の性質が成り立つ。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\vt{a}\times\vt{b}
=\vt{0}
\ \Longleftrightarrow \
\vt{a}\,/\!/\,\vt{b}$
\item[(2)]
$\vt{a}\times\vt{b}
=
-\vt{b}\times\vt{a}$
\item[(3)]
$\left(k\vt{a}\right)\times\vt{b}
=
\vt{a}\times\left(k\vt{b}\right)
=
k\left(
\vt{a}\times\vt{b}
\right)$
\item[(4)]
$\vt{a}\times
\left(\vt{b}+\vt{c}\right)
=
\vt{a}\times\vt{b}
+
\vt{a}\times\vt{c}$
\end{enumerate}
%