多変数関数の極値
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関数 $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ のまわりで連続であるとする。
このとき,
$(a,b)$ の近くのすべての点 $(x,y)$ で
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\begin{align*}
f(x,y)>f(a,b)
\end{align*}
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を満たすとき,
$z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で
\ommindex{極小}{きょくしょう}であるといい
$f(a,b)$ を\ommindex{極小値}{きょくしょうち}という。
また,
$(a,b)$ の近くのすべての点 $(x,y)$ で
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\begin{align*}
f(x,y)<f(a,b)
\end{align*}
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を満たすとき,
$z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で
\ommindex{極大}{きょくだい}であるといい
$f(a,b)$ を\ommindex{極大値}{きょくだいち}という。
極小値,
極大値を合わせて\ommindex{極値}{きょくち}という。
以下,
関数 $z=f(x,y)$ は連続微分可能な関数であるとする。
行列式
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\begin{align*}
H(a,b)=\left|\begin{array}{cc}
f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{xy}(a,b) & f_{yy}(a,b)
\end{array}\right|
\end{align*}
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を点 $(a,b)$ における\ommindex{ヘッセ行列式}{へっせぎょうれつしき}
または\ommindex{ヘシアン}{へしあん}という。
$z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとれば,
条件
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\begin{align*}
f_{x}(a,b)=f_{y}(a,b)=0
\quad \cdots \cdots \maru{1}
\end{align*}
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を満たす。
$z=f(x,y)$ が条件 \maru{1} を見たすとき,
このとき,
$z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとるかどうかについて,
次の\ommindex{極値の判定法}{きょくちのはんていほう}が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$H(a,b)>0$ のとき
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]
$f_{xx}(a,b)>0$ であれば極小である。
\item[$\bullet$]
$f_{xx}(a,b)<0$ であれば極大である。
\end{enumerate}
\item[(2)]
$H(a,b)<0$ のとき極値ではない。
\end{enumerate}
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条件付き極値問題
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条件 $\varphi(a,y)=0$ の下で,
連続微分可能な関数 $z=f(x,y)$ の極値を調べる問題を
\ommindex{条件付き極値問題}{じょうけんつききょくちもんだい}という。
条件 $\varphi(a,y)=0$ の下で関数 $z=f(x,y)$ が極値をとるとき,
次の式を満たす定数 $\lambda$ が存在する。
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\begin{align*}
&
f_{x}(a,b)=\lambda\varphi_{x}(a,b)
\\
&
f_{y}(a,b)=\lambda\varphi_{y}(a,b)
\\
\varphi(a,b)=0
\end{align*}
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これを\ommindex{ラグランジュの常数法}{らぐらんじゅのじょうすうほう}という。
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