2重積分
%
$z=f(x,y)$ は領域 D で定義された2変数関数であるとする。
領域 D を $n$ 個の小領域 D$_{k}$ $(k=1,2,3,\ldots ,n)$ に分割し,
$\varDelta{S}_k$ を D$_{k}$ の面積,
点 $(x_k,y_k)$ を D$_{k}$ に含まれる点とする。
このとき,
$n$ を限りなく大きくし,
分割を限りなく細かくするときの極限値
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\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\varDelta{S}_k
\end{align*}
%
が存在するとき,
この極限値を,
領域 D における $f(x,y)$ の
\ommindex{2重積分}{にじゅうせきぶん}といい,
%
\begin{align*}
\int_{\text{D}}f(x,y)\,dS
\quad \mbox{または}\quad
\int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy
\end{align*}
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と表す。
このとき,
領域 D を\ommindex{積分領域}{せきぶんりょういき}という。
積分領域 D が,
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\begin{align*}
\{(x,y)\,|\,a\le x\le b,\,\varphi_1(x)\le y \varphi_2(x)\}
\end{align*}
%
と表されているとき,
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\begin{align*}
\int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy
=
\int\left\{\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right\}dx
\end{align*}
%
が成り立つ。
右辺の形の積分\ommindex{累次積分}{るいじせきぶん}という。
上の式は $y$ で積分してから $x$ で積分する形となっている。
これを
%
\begin{align*}
\int\left\{\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right\}dx
=
\int\left\{\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,dx\right\}dy
\end{align*}
%
のように,
$x$ で積分してから $y$ で積分する形の直すこと,
またはその逆の変形を,
\ommindex{積分の順序変更}{せきぶんのじゅのへんこう}という。
%
2重積分の変数変換
%
2重積分において,
$x=x(u,v)$,
$y=y(u,v)$ とおく。
積分領域 D に対応した $uv$ 平面上の領域を D$'$ とするとき,
%
\begin{align*}
\int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy
=
\int\!\!\!\int_{\text{D}'}f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,dudv
\end{align*}
%
が成り立つ。
ここで,
$J$ は行列式
%
\begin{align*}
J
=
\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}
\\[0.5em]
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}\right|
\end{align*}
%
であり,
これを\ommindex{ヤコビ行列式}{やこびぎょうれつしき}という。
このように,
2重積分において,
別の変数の積分に直すことを
\ommindex{変数変換}{へんすうへんかん}という。
とくに,
極座標を用いて $x=r\cos{\theta}$,
$y=r\sin{\theta}$ とおくとき,
%
\begin{align*}
J
=
\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}
\\[0.5em]
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{array}\right|
=
\left|\begin{array}{ccc}
-r\sin{\theta} & \cos{\theta}
\\
r\cos{\theta} & \sin{\theta}
\end{array}\right|
=
-r
\end{align*}
%
となり,
$r\ge 0$ であるから $|J|=r$ である。
したがって,
%
\begin{align*}
\int\!\!\!\int_{\text{D}}f(x,y)\,dxdy
=
\int\!\!\!\int_{\text{D}'}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})\,r\,drd\theta
\end{align*}
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が成り立つ。
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