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数学・工学事典 / 数学 / 応用数学 / ベクトル解析

ベクトル場

スカラー場

% 空間の各点 P に対して1つの実数 $\varphi$ が定まるとき, $\varphi$ を \ommindex{スカラー場}{すからーば}という。 スカラー場が定められた点全体の集合を, そのスカラー場の\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 スカラー場の定義域に含まれる 点 P$(x,y,z)$ における $\varphi$ の 値を $\varphi(x,y,z)$ または $\varphi(\text{P})$ と表す。 電位分布, 密度分布, 温度分布などはスカラー場の例である。 スカラー場 $\varphi$ に対して, その値が一定である点全体が曲面を作るとき, この曲面を $\varphi$ の \ommindex{等位面}{とういめん}という。 %

ベクトル場

% 空間の各点 P に対して1つのベクトル $\vt{a}$ が定まるとき, $\vt{a}$ を\ommindex{ベクトル場}{べくとるば}という。 ベクトル場が定められた点全体の集合を, そのベクトル場の\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 ベクトル場の定義域に含まれる点 P$(x,y,z)$ において, ベクトル場 $\vt{a}$ から定まる ベクトルを $\vt{a}(x,y,z)$ または $\vt{a}(\text{P})$ と表す。 $\vt{a}(x,y,z)$ は, % \begin{align*} \vt{a}(x,y,z) =a_x(x,y,z)\,\vt{i}+a_y(x,y,z)\,\vt{j}+a_z(x,y,z)\,\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 重力場, 電場, 磁場や, 流体の速度分布などはベクトル場である。 %