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数学・工学事典 / 数学 / 応用数学 / ベクトル解析

勾配

勾配

% 空間のスカラー場 $\varphi$ に対して, 微分演算子 % \begin{align*} \nabla = \vt{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vt{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vt{k}\frac{\partial}{\partial z} \end{align*} % を用いて, % \begin{align*} \nabla{\varphi} &= \left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x} +\vt{j}\frac{\partial}{\partial y} +\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\varphi \\ &= \frac{\partial\varphi}{\partial x}\vt{i} +\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vt{j} +\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vt{k} \end{align*} % と定められるベクトル場を $\varphi$ の\ommindex{勾配}{こうばい}といい, $\grad{\varphi}$ と表す。 点 P$(x_0,\,y_0,\,z_0)$ と単位ベクトル $\vt{u}=u_x\,\vt{i}+u_y\,\vt{j}+u_z\,\vt{k}$ に対して, % \begin{align*} \varphi(t)=\varphi(x_0+u_xt,\,y_0+u_yt,\,z_0+u_zt) \end{align*} % とおくと, % \begin{align*} \varphi'(0) = \grad{\varphi}({\text{P}})\bdot \vt{u} \end{align*} % が成り立つ。 この値は, 点 P が $\vt{u}$ 方向に移動したときの $\varphi$ の値の変化率である。 これを, 点 P におけるスカラー場 $\varphi$ の $\vt{u}$ 方向の \textbf{方向微分係数}といい, $D_{\vt{u}}\varphi$ と表す。方向微分係数 $D_{\vt{u}}\varphi$ が 最大となる単位ベクトル $\vt{u}$ の向きを, $\varphi$ の\textbf{最大傾斜方向}という。 $\grad{\varphi}$ は各点 P において, $\varphi$ の最大傾斜方向と同じ方向のベクトルであり, そのとき, $D_{\vt{u}}\varphi=\left|\grad{\varphi}\right|$ になる。

勾配の性質

% スカラー場 $\varphi$, $\psi$ および定数 $c$ について, 次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\grad{(c\varphi)}=c\grad{\varphi}$ \item[(2)] $\grad(\varphi+\psi)=\grad{\varphi}+\grad\psi$ \item[(3)] $\grad(\varphi\psi) =(\grad\varphi)\psi +\varphi(\grad\psi)$ \end{enumerate} %