曲線
曲線
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$\alpha\le t \le\beta$ で定義された関数 $x(t)$,
$y(t)$,
$z(t)$ が連続であるとき,
空間の点 P$(x(t),y(t),z(t))$ は空間に\ommindex{曲線}{きょくせん} C を描く。
点 P の位置ベクトル $\vt{r}$ は
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\begin{align*}
\vt{r}=x(t)\vt{i}+y(t)\vt{j}+z(t)\vt{k}
\end{align*}
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と表すことができる。
これを $\vt{r}=\vt{r}(t)$ と表し,
これを曲線 C の
\ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}といい,
変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう},
$\alpha\le t \le\beta$ を\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。
点 P$(x(t),y(t),z(t))$ を単に P$(t)$ とかくこともある。
P$(\alpha)$ を\ommindex{始点}{してん},
P$(\beta)$ を\ommindex{終点}{しゅうてん}といい,
$t$ の増加に伴って P$(t)$ が移動する向きを,
曲線 C の\ommindex{向き}{むき}という。
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いろいろな曲線
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とする。
点 A を通り,
定ベクトル $\vt{v}$ に平行な直線の媒介変数表示は
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\begin{align*}
\vt{r}=\vt{a}+t\vt{v}
\end{align*}
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と表すことができる。
ベクトル $\vt{v}$ をこの\ommindex{直線}{ちょくせん}の
\ommindex{方向ベクトル}{ほうこうべくとる}という。
\item[(2)]
点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とする。
$\vt{u}$,
$\vt{v}$ を互いに直交する単位ベクトルとする。
このとき,
点 A を中心として,
$\vt{u}$,
$\vt{v}$ に平行な面上にあり,
半径が $R$ である\ommindex{円}{えん}の媒介変数表示は
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\begin{align*}
\vt{r}=\vt{a}+R\cos{t}\vt{u}+R\sin{t}\,\vt{v}
\end{align*}
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と表すことができる。
\item[(3)]
曲線
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\begin{align*}
\vt{r}
=
R\cos{t}\vt{i}+R\sin{t}\vt{j}+ct
\end{align*}
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は,
$z$ 軸を中心とした半径 $R$ の円柱面に巻きつきながら,
$z$ 座標が一定の割合で変化していく螺旋となる。
これを\ommindex{常螺旋}{じょうらせん}という。
\end{enumerate}
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接線ベクトル
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関数 $x(t)$,
$y(t)$,
$z(t)$ が連続微分可能であるとき,
曲線 $\vt{r}=x(t)\vt{i}+y(t)\vt{j}+z(t)\vt{k}$ は
連続微分可能であるという。
このとき,
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\begin{align*}
\frac{d\vt{r}}{dt}
=
\frac{dx}{dt}\vt{i}+\frac{dy}{dt}\vt{j}+\frac{dz}{dt}\vt{k}
\end{align*}
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をこの曲線の
\ommindex{接線ベクトル}{せっせんべくとる}または
\ommindex{速度ベクトル}{そくどべくとる}という。
曲線上の点 P$(t_0)$ の位置ベクトルを $\vt{r}_0$,
P$(t_0)$ における接線ベクトルを $\vt{v}_0$ とすると,
$s$ を媒介変数とする直線
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\begin{align*}
\vt{r}(s)=\vt{r}_0+s\vt{v}_0
\end{align*}
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を,
P$(t_0)$ における曲線の\ommindex{接線}{せっせん},
点 P をその\ommindex{接点}{せってん}という。
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曲率
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$\vt{v}(t)$ と同じ方向の単位ベクトル
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\begin{align*}
\vt{t}
=\frac{\frac{d\vt{r}}{dt}}{\;\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|}
\end{align*}
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を\ommindex{単位接線ベクトル}{たんいせっせんべくとる}といい,
$\vt{t}$ で表す。
曲線 $\vt{r}(t)$ 上の定点 P$(\alpha)$ から P$(t)$ までの長さ $s(t)$ は
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\begin{align*}
s(t)
=
\int_{\alpha}^{t}\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|\,dt
\end{align*}
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となる。
これを\ommindex{弧長}{こちょう}という。
このとき,
単位接線ベクトルの,
弧長に対する変化率の大きさ
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\begin{align*}
\kappa(t)
=
\left|\frac{d\vt{t}}{ds}\right|
=
\left|\frac{d\vt{t}}{dt}\frac{dt}{ds}\right|
=
\left|\frac{\frac{d\vt{t}}{dt}}{\frac{ds}{dt}}\right|
=
\frac{\left|\frac{d\vt{t}}{dt}\right|}%
{\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|}
\end{align*}
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を,
曲線 $\vt{r}(t)$ の\ommindex{曲率}{きょくりつ},
$\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$ を
\ommindex{曲率半径}{きょくりつはんけい}という。
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単一閉曲線
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終点と始点が一致している曲線を
\ommindex{閉曲線}{へいきょくせん}という。
閉曲線が自分自身と交差しないとき,
\ommindex{単一閉曲線}{たんいつへいきょくせん}または
\ommindex{単純閉曲線}{たんじゅんへいきょくせん}という。
単一閉曲線が平面図形の境界線となっているとき,
図形の内部を左手に見て回る向きを
\ommindex{正の向き}{せいのむき}という。
単一閉曲線が表裏が定められた曲面の境界線となっているとき,
表に立って曲面を左手に見て回る向きを
\ommindex{正の向き}{せいのむき}という。
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