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数学・工学事典 / 数学 / 応用数学 / ベクトル解析

曲線

曲線

% $\alpha\le t \le\beta$ で定義された関数 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ が連続であるとき, 空間の点 P$(x(t),y(t),z(t))$ は空間に\ommindex{曲線}{きょくせん} C を描く。 点 P の位置ベクトル $\vt{r}$ は % \begin{align*} \vt{r}=x(t)\vt{i}+y(t)\vt{j}+z(t)\vt{k} \end{align*} % と表すことができる。 これを $\vt{r}=\vt{r}(t)$ と表し, これを曲線 C の \ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}といい, 変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう}, $\alpha\le t \le\beta$ を\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。 点 P$(x(t),y(t),z(t))$ を単に P$(t)$ とかくこともある。 P$(\alpha)$ を\ommindex{始点}{してん}, P$(\beta)$ を\ommindex{終点}{しゅうてん}といい, $t$ の増加に伴って P$(t)$ が移動する向きを, 曲線 C の\ommindex{向き}{むき}という。 %

いろいろな曲線

% \begin{enumerate} \item[(1)] 点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とする。 点 A を通り, 定ベクトル $\vt{v}$ に平行な直線の媒介変数表示は % \begin{align*} \vt{r}=\vt{a}+t\vt{v} \end{align*} % と表すことができる。 ベクトル $\vt{v}$ をこの\ommindex{直線}{ちょくせん}の \ommindex{方向ベクトル}{ほうこうべくとる}という。 \item[(2)] 点 A の位置ベクトルを $\vt{a}$ とする。 $\vt{u}$, $\vt{v}$ を互いに直交する単位ベクトルとする。 このとき, 点 A を中心として, $\vt{u}$, $\vt{v}$ に平行な面上にあり, 半径が $R$ である\ommindex{円}{えん}の媒介変数表示は % \begin{align*} \vt{r}=\vt{a}+R\cos{t}\vt{u}+R\sin{t}\,\vt{v} \end{align*} % と表すことができる。 \item[(3)] 曲線 % \begin{align*} \vt{r} = R\cos{t}\vt{i}+R\sin{t}\vt{j}+ct \end{align*} % は, $z$ 軸を中心とした半径 $R$ の円柱面に巻きつきながら, $z$ 座標が一定の割合で変化していく螺旋となる。 これを\ommindex{常螺旋}{じょうらせん}という。 \end{enumerate} %

接線ベクトル

% 関数 $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ が連続微分可能であるとき, 曲線 $\vt{r}=x(t)\vt{i}+y(t)\vt{j}+z(t)\vt{k}$ は 連続微分可能であるという。 このとき, % \begin{align*} \frac{d\vt{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vt{i}+\frac{dy}{dt}\vt{j}+\frac{dz}{dt}\vt{k} \end{align*} % をこの曲線の \ommindex{接線ベクトル}{せっせんべくとる}または \ommindex{速度ベクトル}{そくどべくとる}という。 曲線上の点 P$(t_0)$ の位置ベクトルを $\vt{r}_0$, P$(t_0)$ における接線ベクトルを $\vt{v}_0$ とすると, $s$ を媒介変数とする直線 % \begin{align*} \vt{r}(s)=\vt{r}_0+s\vt{v}_0 \end{align*} % を, P$(t_0)$ における曲線の\ommindex{接線}{せっせん}, 点 P をその\ommindex{接点}{せってん}という。 %

曲率

% $\vt{v}(t)$ と同じ方向の単位ベクトル % \begin{align*} \vt{t} =\frac{\frac{d\vt{r}}{dt}}{\;\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|} \end{align*} % を\ommindex{単位接線ベクトル}{たんいせっせんべくとる}といい, $\vt{t}$ で表す。 曲線 $\vt{r}(t)$ 上の定点 P$(\alpha)$ から P$(t)$ までの長さ $s(t)$ は % \begin{align*} s(t) = \int_{\alpha}^{t}\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|\,dt \end{align*} % となる。 これを\ommindex{弧長}{こちょう}という。 このとき, 単位接線ベクトルの, 弧長に対する変化率の大きさ % \begin{align*} \kappa(t) = \left|\frac{d\vt{t}}{ds}\right| = \left|\frac{d\vt{t}}{dt}\frac{dt}{ds}\right| = \left|\frac{\frac{d\vt{t}}{dt}}{\frac{ds}{dt}}\right| = \frac{\left|\frac{d\vt{t}}{dt}\right|}% {\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right|} \end{align*} % を, 曲線 $\vt{r}(t)$ の\ommindex{曲率}{きょくりつ}, $\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$ を \ommindex{曲率半径}{きょくりつはんけい}という。 % %

単一閉曲線

% 終点と始点が一致している曲線を \ommindex{閉曲線}{へいきょくせん}という。 閉曲線が自分自身と交差しないとき, \ommindex{単一閉曲線}{たんいつへいきょくせん}または \ommindex{単純閉曲線}{たんじゅんへいきょくせん}という。 単一閉曲線が平面図形の境界線となっているとき, 図形の内部を左手に見て回る向きを \ommindex{正の向き}{せいのむき}という。 単一閉曲線が表裏が定められた曲面の境界線となっているとき, 表に立って曲面を左手に見て回る向きを \ommindex{正の向き}{せいのむき}という。 %