曲面
%
$uv$ 平面上の領域 D で定義された関数 $x(u,v)$,
$y(u,v)$,
$z(u,v)$ に対して
%
\begin{align*}
\vt{r}=x(u,v)\vt{i}+y(u,v)\vt{j}+z(u,v)\vt{k}
\end{align*}
%
を $\vt{r}=\vt{r}(u,v)$ と表す。
$x$, $y$, $z$ が連続微分可能であるとき,
%
\begin{align*}
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
&=
\frac{\partial x}{\partial u}\vt{i}
+
\frac{\partial y}{\partial u}\vt{j}
+
\frac{\partial z}{\partial u}\vt{k},
\\
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}
&=
\frac{\partial x}{\partial v}\vt{i}
+
\frac{\partial y}{\partial v}\vt{j}
+
\frac{\partial z}{\partial v}\vt{k}
\end{align*}
%
を $\vt{r}$ の\ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}という。
これらの偏導関数が
%
\begin{align*}
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}
\ne \vt{0}
\end{align*}
%
を満たすとき,
位置ベクトルを $\vt{r}$ とする
空間の点 P$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ は
空間に\ommindex{曲面}{きょくめん}を描く。
これを $\vt{r}=\vt{r}(u,v)$ と表し,
これを曲面 C の
\ommindex{媒介変数表示}{ばいかいへんすうひょうじ}といい,
変数 $t$ を\ommindex{媒介変数}{ばいかいへんすう},
D を\ommindex{定義域}{ていぎいき}という。
点 P$(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ を単に P$(u,v)$ とかくこともある。
%
いろいろな曲面
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
点 P の位置ベクトルを $\vt{p}$ とする。
点 P を通り,
定ベクトル $\vt{a}$,
$\vt{b}$ に平行な平面の媒介変数表示は
%
\begin{align*}
\vt{r}=\vt{p}+u\vt{a}+v\vt{b}
\end{align*}
%
と表すことができる。
\item[(2)]
$z$ 軸を中心とする半径 $R$ の円柱面は
%
\begin{align*}
\vt{r}=R\cos{u}\,\vt{i}+R\sin{u}\,\vt{j}+v\,\vt{k}
\end{align*}
%
と表すことができる。
\item[(3)]
原点を中心とした半径 $R$ の球面は
%
\begin{align*}
\vt{r}
=
R\cos{u}\cos{v}\,\vt{i}+R\sin{u}\cos{v}\,\vt{j}+R\sin{v}\,\vt{k}
\end{align*}
%
と表すことができる。
\end{enumerate}
%
法線ベクトルと接平面
%
曲面 $\vt{r}=\vt{r}(u,v)$ 上の各点 P において,
曲面に垂直なベクトルを,
点 P における曲面の
\ommindex{法線ベクトル}{ほうせんべくとる}という。
%
\begin{align*}
\frac{\partial \vt{r}}{\partial u}
\times
\frac{\partial \vt{r}}{\partial v}
\end{align*}
%
は法線ベクトルである。
法線ベクトルのうち,
大きさが $1$ のベクトルを
\ommindex{単位法線ベクトル}{たんいほうせんべくとる}という。
点 P を通り,
単位法線ベクトルに垂直な平面を,
点 P における\ommindex{接平面}{せつへいめん}という。