線積分

% スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ と, 滑らかな曲線 ${\text{C}} :\vt{r}=x(t)\,\vt{i}+y(t)\,\vt{j}+z(t)\,\vt{k}$ に対して, $\varphi(t)=\varphi(x(t),y(t),z(t))$ と表すとき % \begin{align*} \int_{\text{C}}\varphi\,ds = \int_{\alpha}^{\beta} \varphi(t)\left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right| \,dt \end{align*} % を, 曲線 C に沿うスカラー場 $\varphi$ の \ommindex{線積分}{せんせきぶん}という。 とくに, $\varphi=1$ のとき, 線積分の値は曲線 C の長さ $s$ である。 % \begin{align*} s = \int_{\alpha}^{\beta} \left|\frac{d\vt{r}}{dt}\right| \,dt \end{align*} %