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数学・工学事典 / 数学 / 応用数学 / ベクトル解析

体積分

スカラー場の体積分

% 曲面で囲まれた空間の部分を\ommindex{立体}{りったい}という。 ここでは, % \begin{align*} {\text{V}} &= \{(x,y,z)\,|\, a\le x \le b,\,c\le x \le d,\,e\le x \le f \} \\ {\text{V}} &= \{(x,y,z)\,|\, (x,y)\in D,\,f(x,y)\le x \le g(x,y)\} \end{align*} % などを取り扱う。 $\varphi(x,y,z)$ をスカラー場とする。 立体 D を $n$ 個の 微少な立体 ${\text{V}}_k$ $(k=1,2,\ldots ,n)$ に分割し, 分割された各小立体の体積を $V_k$ とする。 また, 各小立体に含まれる点を $(x_k,y_k,z_k)$ とするとき, $n$ を大きくして, 各小立体を限りなくを小さくしたときの極限 % \begin{align*} \int_{\text{V}} \varphi \,dV = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\varphi(x_k,y_k,z_k)\,dV_k \end{align*} % を, 立体 V におけるスカラー場 $\varphi$ の \ommindex{体積分}{たいせきぶん}という。 体積分は次のように計算する。 % \begin{enumerate} \item[(1)] ${\text{V}} = \{(x,y,z)\,|\, a\le x \le b,\,c\le x \le d,\,e\le x \le f \}$ のとき: % \begin{align*} \int_{\text{V}} \varphi \,dV = \int_{a}^{b}\left\{ \int_{c}^{d}\left\{ \int_{e}^{f}\varphi(x,y,z)\,dz \right\}\,dy \right\}\,dx \end{align*} % \item[(2)] ${\text{V}} = \{(x,y,z)\,|\, (x,y)\in D,\,f(x,y)\le x \le g(x,y)\}$ のとき % \begin{align*} \int_{\text{V}} \varphi \,dV = \int\!\!\!\int_{\text{D}}\left\{ \int_{f(x,y)}^{g(x,y)}\varphi(x,y,z)\,dz \right\}\,dxdy \end{align*} % \end{enumerate} % %