スカラー場の体積分
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曲面で囲まれた空間の部分を\ommindex{立体}{りったい}という。
ここでは,
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\begin{align*}
{\text{V}}
&=
\{(x,y,z)\,|\,
a\le x \le b,\,c\le x \le d,\,e\le x \le f \}
\\
{\text{V}}
&=
\{(x,y,z)\,|\,
(x,y)\in D,\,f(x,y)\le x \le g(x,y)\}
\end{align*}
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などを取り扱う。
$\varphi(x,y,z)$ をスカラー場とする。
立体 D を $n$ 個の
微少な立体 ${\text{V}}_k$ $(k=1,2,\ldots ,n)$ に分割し,
分割された各小立体の体積を $V_k$ とする。
また,
各小立体に含まれる点を $(x_k,y_k,z_k)$ とするとき,
$n$ を大きくして,
各小立体を限りなくを小さくしたときの極限
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\begin{align*}
\int_{\text{V}}
\varphi \,dV
=
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\varphi(x_k,y_k,z_k)\,dV_k
\end{align*}
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を,
立体 V におけるスカラー場 $\varphi$ の
\ommindex{体積分}{たいせきぶん}という。
体積分は次のように計算する。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
${\text{V}}
=
\{(x,y,z)\,|\,
a\le x \le b,\,c\le x \le d,\,e\le x \le f \}$ のとき:
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\begin{align*}
\int_{\text{V}}
\varphi \,dV
=
\int_{a}^{b}\left\{
\int_{c}^{d}\left\{
\int_{e}^{f}\varphi(x,y,z)\,dz
\right\}\,dy
\right\}\,dx
\end{align*}
%
\item[(2)]
${\text{V}}
=
\{(x,y,z)\,|\,
(x,y)\in D,\,f(x,y)\le x \le g(x,y)\}$ のとき
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\begin{align*}
\int_{\text{V}}
\varphi \,dV
=
\int\!\!\!\int_{\text{D}}\left\{
\int_{f(x,y)}^{g(x,y)}\varphi(x,y,z)\,dz
\right\}\,dxdy
\end{align*}
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\end{enumerate}
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