ラプラス変換
%
$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ に対して,
広義積分
%
\begin{align*}
F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
\quad \cdots\cdots\maru{1}
\end{align*}
%
が存在するとき,
$F(s)$ を $f(t)$ の\ommindex{ラプラス変換}{らぷらすへんかん}といい,
%
\begin{align*}
F(s)=\Lap{\left[f(t)\right]}
\end{align*}
%
と表す。
このとき,
$f(t)$ を\ommindex{原関数}{げんかんすう},
$F(s)$ を\ommindex{像関数}{ぞうかんすう}という。
積分の性質から,
任意の定数 $a$, $b$ について,
%
\begin{align*}
\Lap{\left[af(t)+bg(t)\right]}
=
a\Lap{\left[f(t)\right]}+a\Lap{\left[g(t)\right]}
\end{align*}
%
が成り立つ。
主要な関数のラプラス変換を示す。
%
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|}
\hline
f(t) & F(s)=\Lap{\left[f(t)\right]}
%
\\ \hline \hline
1 & \frac{1}{s}
%
\\ \hline
t & \frac{1}{s^2}
%
\\ \hline
t^{n} & \frac{n!}{s^{n+1}}
%
\\ \hline
\sin{\omega t} & \frac{\omega }{s^2+\omega^2}
%
\\ \hline
\cos{\omega t} & \frac{s}{s^2+\omega ^2}
%
\\ \hline
\sinh{\omega t} & \frac{\omega}{s^2-\omega^2}
%
\\ \hline
\cosh{\omega t} & \frac{s}{s^2-\omega^2}
\\ \hline
\end{array}
\end{align*}
%
%
$\Lap{\left[f(t)\right]}=F(s)$ であるとき
%
\begin{align*}
\Lapinv{\left[F(s)\right]}=f(t)
\end{align*}
%
と表す。
$\Lapinv{\left[F(s)\right]}$ を
\ommindex{逆ラプラス変換}{ぎゃくらぷらすへんかん}という。
ラプラス変換と同じように,
任意の定数 $a$, $b$ について,
%
\begin{align*}
\Lapinv{\left[aF(s)+bG(s)\right]}
=
a\Lapinv{\left[F(s)\right]}+a\Lapinv{\left[G(s)\right]}
\end{align*}
%
が成り立つ。
%
単位ステップ関数
実数 $a$ に対して,
実数全体で定義された関数 $U(t-a)$ を
%
%
\begin{align*}
U(t-a)=
\left\{
\begin{array}{cc}
0 & (t< a)
\\
1 & (t\ge a)
\end{array}\right.
\end{align*}
%
%
と定め,
これを\ommindex{単位ステップ関数}{たんいすてっぷかんすう}という。
$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ に対して,
%
\begin{align*}
U(t-a)f(t-a)=
\left\{
\begin{array}{cc}
0 & (0\le t< a)
\\
f(t-a) & (t\ge a)
\end{array}\right.
\end{align*}
%
と定める。
単位ステップ関数 $U(t-a)f(t-a)$ のラプラス変換,
逆ラプラス変換について
%
\begin{align*}
\Lap{\left[U(t-a)f(t-a)\right]}=e^{-as}\Lap{\left[f(t)\right]}
\end{align*}
%
が成り立つ。
とくに,
$f(t)=1$ であるとき
%
\begin{align*}
\Lap{\left[U(t-a)\right]}=\frac{e^{-as}}{s}
\end{align*}
%
が成り立つ。
デルタ関数
$a$ を $0$ 以上の定数とするとき
次の性質をもつ関数 $\delta(t)$ を考える。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$t\ne a$ のとき $\delta(t-a)=0$
\item[(2)]
$t\ge 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ に対して
%
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}f(t)\delta(t-a)=f(a)
\end{align*}
%
\end{enumerate}
%
$\delta(t-a)$ は,
自然数 $n$ に対して定義された関数
%
\begin{align*}
d_n(t)
=
\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left(a\le t \le a+\frac{1}{\,n\,}\right)
\\
0 & \left(0\le t < a, \ a+\frac{1}{\,n\,}< t\right)
\end{array}
\right.
\end{align*}
%
の $n\to\infty$ としたときの極限として考えられたものであり,
これを\ommindex{デルタ関数}{でるたかんすう}という。
デルタ関数は普通の意味の関数とは異なり,
超関数と呼ばれるものである。
デルタ関数 $\delta(t-a)$ のラプラス変換について
%
\begin{align*}
\Lap{\left[\delta(t-a)\right]}=e^{-as}
\end{align*}
%
が成り立つ。
とくに,
$a=1$ とすれば
%
\begin{align*}
\Lap{\left[\delta(t)\right]}=1
\end{align*}
%
である。
合成積
関数 $f(t)$, $g(t)$ に対して
%
\begin{align*}
f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)
\end{align*}
%
と定める。
これを $f(t)$, $g(t)$ の\ommindex{合成積}{ごうせいせき},
\ommindex{たたみ込み}{たたみこみ},
\ommindex{コンボルーション}{こんぼるーしょん}などという。
$f(t)$, $g(t)$ のラプラス変換をそれぞれ $F(s)$, $G(s)$ とするとき,
%
\begin{align*}
\Lap{\left[f(t)\ast g(t)\right]}=F(s)G(s),
\quad
\Lapinv{\left[F(s)G(s)\right]}=f(t)\ast g(t)
\end{align*}
%
が成り立つ。
また,
単位ステップ関数,
デルタ関数との合成積について
%
\begin{align*}
f(t)\ast U(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau,
\quad
f(t)\ast \delta(t)=f(t)
\end{align*}
%
が成り立つ。
ラプラス変換の性質
ラプラス変換の基本的な性質を挙げておく。
ここで $a$, $b$ は定数である。
%
\begin{align*}
\begin{array}{|l||c|c|}
\hline
\mbox{性質} &
\mbox{原関数} & \mbox{像関数}
%
\\ \hline \hline
\mbox{線形性} &
af(t)+b\,g(t) & aF(s)+b\,G(s)
%
\\ \hline
\mbox{相似法則*} &
f(at) & \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)
%
\\ \hline
\mbox{像関数の移動公式} &
e^{at}f(t) & F(s-a)
%
\\ \hline
\mbox{原関数の微分公式} &
f'(t) & sF(s)-f(0)
\\ &
f''(t) & s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
%
\\ \hline
%
\mbox{原関数の積分公式*} &
\displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau & \frac{1}{s}F(s)
%
\\ \hline
\mbox{像関数の微分公式*} &
t f(t) & -F'(s)
\\ &
t^2 f(t) & F''(s)
%
\\ \hline
%
\mbox{像関数の積分公式*} &
\frac{f(t)}{t} & \displaystyle\int_s^{\infty}F(\sigma)\,d\sigma
%
\\ \hline
%
\mbox{合成積} &
f(t)*g(t) & F(s)G(s)
%
\\ \hline
\mbox{単位ステップ関数} &
U(t-a) & \frac{e^{-as}}{s}
%
\\ \hline
\mbox{デルタ関数} &
\delta(t-a) & e^{-as}
%
\\ \hline
\end{array}
\end{align*}