ラプラス変換

% $t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ に対して, 広義積分 % \begin{align*} F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt \quad \cdots\cdots\maru{1} \end{align*} % が存在するとき, $F(s)$ を $f(t)$ の\ommindex{ラプラス変換}{らぷらすへんかん}といい, % \begin{align*} F(s)=\Lap{\left[f(t)\right]} \end{align*} % と表す。 このとき, $f(t)$ を\ommindex{原関数}{げんかんすう}, $F(s)$ を\ommindex{像関数}{ぞうかんすう}という。 積分の性質から, 任意の定数 $a$, $b$ について, % \begin{align*} \Lap{\left[af(t)+bg(t)\right]} = a\Lap{\left[f(t)\right]}+a\Lap{\left[g(t)\right]} \end{align*} % が成り立つ。 主要な関数のラプラス変換を示す。 % \begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline f(t) & F(s)=\Lap{\left[f(t)\right]} % \\ \hline \hline 1 & \frac{1}{s} % \\ \hline t & \frac{1}{s^2} % \\ \hline t^{n} & \frac{n!}{s^{n+1}} % \\ \hline \sin{\omega t} & \frac{\omega }{s^2+\omega^2} % \\ \hline \cos{\omega t} & \frac{s}{s^2+\omega ^2} % \\ \hline \sinh{\omega t} & \frac{\omega}{s^2-\omega^2} % \\ \hline \cosh{\omega t} & \frac{s}{s^2-\omega^2} \\ \hline \end{array} \end{align*} % % $\Lap{\left[f(t)\right]}=F(s)$ であるとき % \begin{align*} \Lapinv{\left[F(s)\right]}=f(t) \end{align*} % と表す。 $\Lapinv{\left[F(s)\right]}$ を \ommindex{逆ラプラス変換}{ぎゃくらぷらすへんかん}という。 ラプラス変換と同じように, 任意の定数 $a$, $b$ について, % \begin{align*} \Lapinv{\left[aF(s)+bG(s)\right]} = a\Lapinv{\left[F(s)\right]}+a\Lapinv{\left[G(s)\right]} \end{align*} % が成り立つ。 %

実数 $a$ に対して, 実数全体で定義された関数 $U(t-a)$ を % % \begin{align*} U(t-a)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (t< a) \\ 1 & (t\ge a) \end{array}\right. \end{align*} % % と定め, これを\ommindex{単位ステップ関数}{たんいすてっぷかんすう}という。 $t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ に対して, % \begin{align*} U(t-a)f(t-a)= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (0\le t< a) \\ f(t-a) & (t\ge a) \end{array}\right. \end{align*} % と定める。 単位ステップ関数 $U(t-a)f(t-a)$ のラプラス変換, 逆ラプラス変換について % \begin{align*} \Lap{\left[U(t-a)f(t-a)\right]}=e^{-as}\Lap{\left[f(t)\right]} \end{align*} % が成り立つ。 とくに, $f(t)=1$ であるとき % \begin{align*} \Lap{\left[U(t-a)\right]}=\frac{e^{-as}}{s} \end{align*} % が成り立つ。

$a$ を $0$ 以上の定数とするとき 次の性質をもつ関数 $\delta(t)$ を考える。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $t\ne a$ のとき $\delta(t-a)=0$ \item[(2)] $t\ge 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ に対して % \begin{align*} \int_{0}^{\infty}f(t)\delta(t-a)=f(a) \end{align*} % \end{enumerate} % $\delta(t-a)$ は, 自然数 $n$ に対して定義された関数 % \begin{align*} d_n(t) = \left\{ \begin{array}{cc} n & \left(a\le t \le a+\frac{1}{\,n\,}\right) \\ 0 & \left(0\le t < a, \ a+\frac{1}{\,n\,}< t\right) \end{array} \right. \end{align*} % の $n\to\infty$ としたときの極限として考えられたものであり, これを\ommindex{デルタ関数}{でるたかんすう}という。 デルタ関数は普通の意味の関数とは異なり, 超関数と呼ばれるものである。 デルタ関数 $\delta(t-a)$ のラプラス変換について % \begin{align*} \Lap{\left[\delta(t-a)\right]}=e^{-as} \end{align*} % が成り立つ。 とくに, $a=1$ とすれば % \begin{align*} \Lap{\left[\delta(t)\right]}=1 \end{align*} % である。

関数 $f(t)$, $g(t)$ に対して % \begin{align*} f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau) \end{align*} % と定める。 これを $f(t)$, $g(t)$ の\ommindex{合成積}{ごうせいせき}, \ommindex{たたみ込み}{たたみこみ}, \ommindex{コンボルーション}{こんぼるーしょん}などという。 $f(t)$, $g(t)$ のラプラス変換をそれぞれ $F(s)$, $G(s)$ とするとき, % \begin{align*} \Lap{\left[f(t)\ast g(t)\right]}=F(s)G(s), \quad \Lapinv{\left[F(s)G(s)\right]}=f(t)\ast g(t) \end{align*} % が成り立つ。 また, 単位ステップ関数, デルタ関数との合成積について % \begin{align*} f(t)\ast U(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,d\tau, \quad f(t)\ast \delta(t)=f(t) \end{align*} % が成り立つ。

ラプラス変換の基本的な性質を挙げておく。 ここで $a$, $b$ は定数である。 % \begin{align*} \begin{array}{|l||c|c|} \hline \mbox{性質} & \mbox{原関数} & \mbox{像関数} % \\ \hline \hline \mbox{線形性} & af(t)+b\,g(t) & aF(s)+b\,G(s) % \\ \hline \mbox{相似法則*} & f(at) & \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right) % \\ \hline \mbox{像関数の移動公式} & e^{at}f(t) & F(s-a) % \\ \hline \mbox{原関数の微分公式} & f'(t) & sF(s)-f(0) \\ & f''(t) & s^2F(s)-sf(0)-f'(0) % \\ \hline % \mbox{原関数の積分公式*} & \displaystyle\int_0^t f(\tau)\,d\tau & \frac{1}{s}F(s) % \\ \hline \mbox{像関数の微分公式*} & t f(t) & -F'(s) \\ & t^2 f(t) & F''(s) % \\ \hline % \mbox{像関数の積分公式*} & \frac{f(t)}{t} & \displaystyle\int_s^{\infty}F(\sigma)\,d\sigma % \\ \hline % \mbox{合成積} & f(t)*g(t) & F(s)G(s) % \\ \hline \mbox{単位ステップ関数} & U(t-a) & \frac{e^{-as}}{s} % \\ \hline \mbox{デルタ関数} & \delta(t-a) & e^{-as} % \\ \hline \end{array} \end{align*}