% 関数 $f(x)$ が, すべての実数 $x$ に対して % \begin{align*} f(x+T)=f(x) \quad (\mbox{$T$ は正の定数}) \end{align*} % を満たすとき, $f(x)$ を\ommindex{周期関数}{しゅうきかんすう}といい, この式を満たす最小の正の数 $T$ を $f(x)$ の \ommindex{周期}{しゅうき}という。 $\sin{t}$, $\cos{t}$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。 $f(t)$ が周期 $T$ の関数であるとき, 自然数 $n$ に対して % \begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\,T\,} \int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}} f(t) \,dt \\ a_n &= \frac{2}{\,T\,} \int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}} f(t)\cos\frac{2n\pi x}{\,T\,} \,dt \\ b_n &= \frac{2}{\,T\,} \int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}} f(t)\sin\frac{2n\pi x}{\,T\,} \,dt \end{align*} % と定めるとき, これらを係数とする級数 % \begin{align*} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos\frac{2n\pi x}{T} + b_n\cos\frac{2n\pi x}{T} \right) \end{align*} % を $f(x)$ の\ommindex{フーリエ級数}{ふーりえきゅうすう}といい, 係数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ を\ommindex{フーリエ係数}{ふーりえけいすう}という。 $f(x)$ と $f(x)$ のフーリエ級数は必ずしも一致しない。 係数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ が $f(x)$ のフーリエ係数であるとき, % \begin{align*} f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos\frac{2n\pi x}{T} + b_n\cos\frac{2n\pi x}{T} \right) \end{align*} % と表す。 %

% 区分的に滑らかな周期関数 $f(x)$ のフーリエ級数は, % \begin{align*} \widetilde{f}(x)=\frac{1}{\,2\,}\left\{f(x-0)+f(x+0)\right\} \end{align*} % に収束する。 これを\ommindex{フーリエ級数の収束定理}{ふーりえきゅうすうのしゅうそくていり}という。 %

% $L$ を正の定数とし, $f(x)$ を $0\le x \le L$ で定義された 区分的に滑らかな関数であるとする。 このとき, 実数全体で定義された関数 $f_{\text{e}}(x)$ を % \begin{align*} f_{\text{e}}(x) = \left\{\begin{array}{cc} f(x) & (0\le x \le L) \\ f(-x) & (-L< x <0) \end{array}\right., \quad f_{\text{e}}(x+2L)=f_{\text{e}}(x) \end{align*} % と定めると, $f_{\text{e}}(x)$ は $f(x)$ を周期 $T=2L$ の偶関数に拡張した関数となる。 このとき, $f_{\text{e}}(x)$ のフーリエ係数は % \begin{align*} a_0 &= \frac{1}{\,L\,}\int_{0}^{L}f(x)\,dx \\ a_n &= \frac{2}{\,L\,}\int_{0}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{\,L\,}\,dx \end{align*} % となるから, 区間 $[0,L]$ では, % \begin{align*} \widetilde{f}(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos\frac{n\pi x}{L}\,dx \quad (0\le x \le L) \end{align*} % が成り立つ。 右辺の級数を\ommindex{フーリエ余弦級数}{ふーりえよげんきゅうすう}という。 また, 関数 $f_{\text{o}}(x)$ を % \begin{align*} f_{\text{o}}(x) = \left\{\begin{array}{cc} f(x) & (0\le x \le L) \\ -f(-x) & (-L< x <0) \end{array}\right., \quad f_{\text{o}}(x+2L)=f_{\text{e}}(x) \end{align*} % と定めると, $f_{\text{o}}(x)$ のフーリエ係数は % \begin{align*} a_n=0 \ (n=0,1,2,\ldots ), \quad b_n &= \frac{2}{\,L\,}\int_{0}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{\,L\,}\,dx \end{align*} % となるから, 区間 $[0,L]$ では, % \begin{align*} \widetilde{f}(x) &= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \quad (0\le x \le L) \end{align*} % が成り立つ。 右辺の級数を\ommindex{フーリエ正弦級数}{ふーりえせいげんきゅうすう}という。 %

% 区分的に滑らかな周期 $T$ の周期関数 $f(x)$ に対して, % \begin{align*} c_n =\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{\,2\,}}^{\frac{T}{\,2\,}} f(x)e^{-i\,\frac{2n\pi }{T}x}\,dx \quad (n=0,\pm 1, \pm 2,\ldots ) \end{align*} % と定めると, $f(x)$ のフーリエ級数は % \begin{align*} f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i\,\frac{2n\pi }{T}x} \end{align*} % の形となる。 この式の右辺を $f(x)$ の \ommindex{複素フーリエ級数}{ふくそふーりえきゅうすう}といい, $c_n$ を\ommindex{複素フーリエ係数}{ふくそふーりえけいすう}という。

% $\sin{\omega x}$ に対して, $\omega$ をこれらの関数の\ommindex{角周波数}{かくしゅうはすう}という。 指数関数 % \begin{align*} e^{i\,\frac{2n\pi }{T}x} = \cos{\frac{2n\pi }{T}x}+i\sin{\frac{2n\pi }{T}x} \end{align*} % は, 角周波数が $\displaystyle \frac{2n\pi }{T}$ の関数である。 したがって, $\left|c_n\right|$ は, $f(x)$ に角周波数が $\displaystyle \frac{2n\pi }{T}$ の三角関数が どれくらい含まれているかを示す値である。 これを $f(x)$ の\ommindex{離散スペクトル}{りさんすぺくとる}という。 %