数学・工学事典

モーメント

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モーメント

% 原点 O に関する点 P の位置ベクトルを $\vt{r}$ とする。 点 P におけるベクトル $\vt{a}$ に対して, % \begin{align*} \vt{N} = \vt{r}\times\vt{a} \end{align*} % を, ベクトル $\vt{a}$ の, 点 O のまわりの\ommindex{モーメント}{もーめんと}という。 %

力のモーメント

% 点 P に力 $\vt{F}$ が加わるとき, % \begin{align*} \vt{N} = \vt{r}\times\vt{F} \end{align*} % を, 点 O のまわりの\ommindex{力のモーメント}{ちからのもーめんと}という。 点 O とベクトル $\vt{N}$ を含む直線 $\ell$ が定まっているとき,力のモーメントを, 軸 $\ell$ のまわりの\ommindex{トルク}{とるく}という。 力 $\vt{F}$ が $\vt{r}$ に垂直であるとき, トルクの大きさ $N=\left|\vt{N}\right|$ は 軸から作用点までの距離 $r=\left|\vt{r}\right|$, 力の大きさ $F=\left|\vt{F}\right|$ を用いて, % \begin{align*} N=rF=\mbox{距離}\times\mbox{力の大きさ} \end{align*} % と表すことができる。 %

角運動量

% 質量 $m$ の質点 P が速度 $\vt{v}$ で運動しているとき, その運動量 $\vt{p}=m\vt{v}$ である。 運動量 $\vt{p}$ のモーメント % \begin{align*} \vt{r}\times\vt{p} = m(\vt{r}\times\vt{v}) \end{align*} % を, 点 P の, 点 O のまわりの\ommindex{角運動量}{かくうんどうりょう}という。 また, % \begin{align*} \vt{\omega} = \frac{\vt{r}\times\vt{v}}% {\left|\vt{r}\right|^2} \end{align*} % を, 点 P の\ommindex{角速度}{かくそくど}という。 角速度は点 P の位置ベクトルと点 P の速度ベクトルに垂直である。 また, 時間 $t$ に対する角速度の変化率 % \begin{align*} \frac{d\vt{\omega}}{dt} \end{align*} % を\ommindex{角加速度}{かくかそくど}という。 %

慣性モーメント

% 質量 $m$ の質点 P が, 軸 $\ell$ を中心に回転運動をしているとする。 このとき, % \begin{align*} r^2\vt{\omega} =\vt{r}\times\vt{v} \end{align*} % の両辺を $t$ で微分すると, $r=\left|\vt{r}\right|$ は一定であるから, % \begin{align*} r^2\frac{d\vt{\omega}}{dt} &= \frac{d\vt{r}}{dt}\times\vt{v} + \vt{r}\times\frac{d\vt{v}}{dt} \\ &= \vt{r}\times\frac{\vt{F}}{m} \\ &= \frac{1}{m}\vt{N} \end{align*} % となる。 ここで $\displaystyle\frac{d\vt{r}}{dt}\times\vt{v} =\vt{v}\times\vt{v} =\vt{0}$, $\displaystyle\frac{d\vt{v}}{dt} =\vt{a} =\displaystyle\frac{\vt{F}}{m}$ であるから, % \begin{align*} r^2\frac{d\vt{\omega}}{dt} &= \vt{r}\times\frac{\vt{F}}{m} = \frac{1}{m}\vt{N} \end{align*} % が成り立つ。 $I=mr^2$ を, 質点 P の, $\ell$ を中心とした\ommindex{慣性モーメント}{かんせいもーめんと}という。 これを用いると, 角速度と慣性モーメント, 力の回転モーメントの関係式 % \begin{align*} \vt{N} = I\,\frac{d\vt{\omega}}{dt} \end{align*} % が得られる。 %

回転の運動方程式

% 面密度 $\sigma$ の図形 $D$ の, 軸 $\ell$ を中心とした慣性モーメントは % \begin{align*} I=\int_{D}r^2 \sigma\,dS \end{align*} % と定められる。 ここで, $r$ は軸 $\ell$ からの距離である。 このとき, % \begin{align*} \vt{N}=I\,\frac{d\vt{\omega}}{dt} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{回転の運動方程式}{かいてんのうんどうほうていしき}という。 %