2次方程式

% $a$, $b$, $c$ を実数とするとき, $x$ に関する方程式 % \begin{align*} ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0) \end{align*} % を\ommindex{2次方程式}{にじほうていしき}という。 この方程式の左辺は % \begin{align*} & ax^2+bx+c \\ &= a\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right) \\ &= a\left\{x^2+2\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right\} \\ &= a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right\} \\ &= a\left\{ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}^2\right\} \\ &= a \left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right) \left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right) \end{align*} % と変形できる。 ここで, 複号を $a$ の符号と同じものとすれば % \begin{align*} \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \end{align*} % となるから, 与えられた2次方程式の解は % \begin{align*} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} % となる。 これを2次方程式の\ommindex{解の公式}{かいのこうしき}という。 %

% 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ に対して, % \begin{align*} D=b^2-4ac \end{align*} % とおく。 このとき, この2次方程式の解は, $D$ の符号によって次のように分類することができる。 % \begin{enumerate} \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac>0$ ならば2つの異なる\ommindex{実数解}{じっすうかい}をもつ。 \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac=0$ ならば ただ1つの解 $x=\displaystyle -\frac{b}{2a}$ をもつ。 これを\ommindex{2重解}{にじゅうかい}という。 \item[$\bullet$] $D=b^2-4ac=0$ ならば2つの異なる\ommindex{虚数解}{きょすうかい}をもつ。 \end{enumerate} % 式 $D=b^2-4ac$ を2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の 解の\ommindex{判別式}{はんべつしき}という。 %

% 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha$, $\beta$ とすると, これらの和, 積について % \begin{align*} \alpha+\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= -\frac{b}{a} \\ \alpha\beta &= \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{align*} % が成り立つ。 これら2つの式 % \begin{align*} \alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \end{align*} % をまとめて, 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の \ommindex{解と係数の関係}{かいとけいすうのかんけい}という。 %