質点 P が,
速さに比例する大きさの抵抗を受けて,
直線上を運動しているものとする。
時刻 $t=0$ のときの
速さを $v_0\,\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]$ とするとき,
質点 P はどれだけ進むことができるか。
ただし,
抵抗の比例定数を $\gamma\,\,\left[\textrm{Ns}/\textrm{m}\right]$ とせよ。
解答例・解説
時刻 $t\,\left[\textrm{s}\right]$ のときの
質点の位置を $x(t)\,\left[\textrm{m}\right]$,
速度を $v(t)\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]$ とする。
条件から,
%
\begin{align*}
x(0)=0,
\quad
v(0)=v_0
\end{align*}
%
である。
抵抗に関する条件から,
質点に加わるのは抵抗は $-\gamma\boldsymbol{v}$ である。
したがって,
運動方程式 $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$ は
%
\begin{align*}
-\gamma\boldsymbol{v}=m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}
\end{align*}
%
である。
直線上の運動であるから,
$\boldsymbol{r}=x(t)$ とすることができ,
運動方程式は,
$x(t)$ に関する2階線形微分方程式
%
\begin{align*}
x' '(t)+\frac{\gamma}{m}x'(t)=0
\quad
(x(0)=0, \ x'(0)=v_0)
\end{align*}
%
となる。
$x'(t)=v(t)$ であるから,
この微分方程式は $v(t)$ に関する1階線形微分方程式
%
\begin{align*}
v'(t)+\frac{\gamma}{m}v(t)=0
\quad
(v(0)=v_0)
\end{align*}
%
と書き直すことができる。
この微分方程式の一般解は
%
\begin{align*}
v(t)=Ce^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}
\quad
(\mbox{$C$ は任意定数})
\end{align*}
%
となる。
これに $t=0$ を代入することによって,
$v(0)=v_0$ を満たす特殊解
%
\begin{align*}
v(t)=v_0 e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}
\end{align*}
%
が得られる。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}v(t)=0$ であるから,
質点 P は十分な時間が経過するとやがて静止する。
位置 $x(t)$ は
%
\begin{align*}
x(t)
=
x(0)+\int_{0}^{t} v_0e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\,dt
=
\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\right)
\end{align*}
%
となるから,
静止するまでに進むことができる距離 $s_{\infty}$ は
%
\begin{align*}
s_{\infty}
=
\lim_{x\to\infty}x(t)
=
\lim_{x\to\infty}
\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\right)
=
\frac{mv_0}{\gamma}
\end{align*}
%
である。