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例題集 / 物理 / 力学 / 物体の運動

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難易度

速度に比例した抵抗を受ける運動

知識・記憶レベル   難易度:
質点 P が, 速さに比例する大きさの抵抗を受けて, 直線上を運動しているものとする。 時刻 $t=0$ のときの 速さを $v_0\,\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]$ とするとき, 質点 P はどれだけ進むことができるか。 ただし, 抵抗の比例定数を $\gamma\,\,\left[\textrm{Ns}/\textrm{m}\right]$ とせよ。

解答例・解説

時刻 $t\,\left[\textrm{s}\right]$ のときの 質点の位置を $x(t)\,\left[\textrm{m}\right]$, 速度を $v(t)\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]$ とする。 条件から, % \begin{align*} x(0)=0, \quad v(0)=v_0 \end{align*} % である。 抵抗に関する条件から, 質点に加わるのは抵抗は $-\gamma\boldsymbol{v}$ である。 したがって, 運動方程式 $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$ は % \begin{align*} -\gamma\boldsymbol{v}=m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} \end{align*} % である。 直線上の運動であるから, $\boldsymbol{r}=x(t)$ とすることができ, 運動方程式は, $x(t)$ に関する2階線形微分方程式 % \begin{align*} x' '(t)+\frac{\gamma}{m}x'(t)=0 \quad (x(0)=0, \ x'(0)=v_0) \end{align*} % となる。 $x'(t)=v(t)$ であるから, この微分方程式は $v(t)$ に関する1階線形微分方程式 % \begin{align*} v'(t)+\frac{\gamma}{m}v(t)=0 \quad (v(0)=v_0) \end{align*} % と書き直すことができる。 この微分方程式の一般解は % \begin{align*} v(t)=Ce^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t} \quad (\mbox{$C$ は任意定数}) \end{align*} % となる。 これに $t=0$ を代入することによって, $v(0)=v_0$ を満たす特殊解 % \begin{align*} v(t)=v_0 e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t} \end{align*} % が得られる。 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}v(t)=0$ であるから, 質点 P は十分な時間が経過するとやがて静止する。 位置 $x(t)$ は % \begin{align*} x(t) = x(0)+\int_{0}^{t} v_0e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\,dt = \frac{mv_0}{\gamma}\left(1-e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\right) \end{align*} % となるから, 静止するまでに進むことができる距離 $s_{\infty}$ は % \begin{align*} s_{\infty} = \lim_{x\to\infty}x(t) = \lim_{x\to\infty} \frac{mv_0}{\gamma}\left(1-e^{-\frac{\gamma}{\,m\,}t}\right) = \frac{mv_0}{\gamma} \end{align*} % である。

モンキー・キャッチボール

知識・記憶レベル   難易度:
木の枝につかまっているサルの方向にボールを投げた。但し,ボールを投げると同時にサルが手を離し落下した。このときサルはボールをキャッチする事が出来るか?但し,空気抵抗は無視する。

解答例・解説

図の様に平面内に座標軸をとり, ボールの質量:$m$,  位置座標:$\left( {x,y} \right)$,速度:$\left( {{v_x},{v_y}} \right)$,  初期位置:$\left( 0, 0 \right)$,初速度:$\left( {{v_0}\cos \theta ,{v_0}\sin \theta } \right)$ サルの質量:$M$,  位置座標:$\left( {x',y'} \right)$,速度:$\left( {{v_x}^\prime ,{v_y}^\prime } \right)$,  初期位置:$\left( \ell, \ell \tan\theta \right)$,初速度:$\left( 0, 0 \right)$とする。 ボール,サルの$x,y$方向の各々の運動方程式より, % \begin{align*} ボール:  0 &= m\frac{{{\rm{d}}{v_x}}}{{{\rm{d}}t}},\quad - mg = m\frac{{{\rm{d}}{v_y}}}{{{\rm{d}}t}} \\ サル:  0 &= M\frac{{{\rm{d}}{v_x}^\prime }}{{{\rm{d}}t}},\quad - Mg = M\frac{{{\rm{d}}{v_y}^\prime }}{{{\rm{d}}t}} \\ \end{align*} % 初期条件を用いて各々時間$t$で積分して,次式となる。 % \begin{align*} ボール:  {v_x} &= {v_0}\cos \theta ,\quad {v_y} = {v_0}\sin \theta - gt \\ ∴x &= {v_0}t\cos \theta ,\quad y = {v_0}t\sin \theta - \frac{1}{2}g{t^2} \\ サル:  {v_x}^\prime &= 0, \quad {v_y}^\prime = - gt \\ ∴{x^\prime } &= \ell ,\quad {y^\prime } = \ell \tan \theta - \frac{1}{2}g{t^2} \\ \end{align*} % サルがボールをキャッチできる条件は,$x = x'$となる時刻$T$で$y = y'$であるから, % \begin{align*} x\left( T \right) &= {v_0}T\cos \theta = x'\left( T \right) = \ell \\ ∴T &= \frac{\ell }{{{v_0}\cos \theta }} \\ y\left( T \right) &= {v_0}T\sin \theta - \frac{1}{2}g{T^2},\quad y'\left( T \right) = \ell \tan \theta - \frac{1}{2}g{T^2} \\ y\left( T \right) - y'\left( T \right) &= {v_0}T\sin \theta - \frac{1}{2}g{T^2} - \left( {\ell \tan \theta - \frac{1}{2}g{T^2}} \right)\\ &= {v_0}\sin \theta \frac{l}{{{v_0}\cos \theta }} - \ell \tan \theta = 0 \end{align*} % $x\left( T \right) = x'\left( T \right),y\left( T \right) = y'\left( T \right)$となり,サルはボールをキャッチできる。 %=image:/media/2014/01/27/139077942782965800.png:

入力テスト

知識・記憶レベル   難易度:
図のような野球グラウンドでの出来事について考えよう。 なお、ホームベースは黒く塗られている。 また、答えは有効数字 2 桁で答えること。 \begin{enumerate} \item (1) レフトがボールを捕球し、図の位置から助走をつけずにボールを 30 m/s でホームベースに向かって投げた。 ボールが投げられてからホームに届くまでの時間を求めよ。 \item (2) 次に、レフトがボールを捕球したが、今度はホームベースに向かって 5 m/s の助走をつけながら図の位置からボールを 30 m/s でホームベースに向かって投げた。 合成されたボールの速さは何 m/s か。 \item (3) {(2)} のとき、ボールが投げられてからホームベースに届くまでの時間を求めよ。 \end{enumerate} %=image:/media/2015/02/10/142357972502465600.jpg:

解答例・解説