点 $(x_0,y_0)$ から,
初速 $\vt{v}_0=v_{0x}\,\vt{i}+v_{0y}\,\vt{j}$ で,
斜め上方に投げ上げられた物体が,
空気抵抗を受けずに運動するとき,
$t$ 秒後の速度 $\vt{v}$ および位置 $\vt{r}$ を求めよ。
ただし,
投げあげた地点を原点 O とし,
重力の加速度を $g\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}^2\right]$ とせよ。
解答例・解説
物体に加わるのは重力だけであり,
重力の方向は鉛直下方で,
大きさは $mg$ である。
したがって,
運動方程式 $\vt{F}=m\vt{a}$ は
%
\begin{align*}
-mg\,\vt{j}=m\frac{d^2\vt{r}}{dt^2}
\end{align*}
%
となる。
$t$ 秒後の速度を $\vt{v}=v_x(t)\,\vt{i}+v_y(t)\,\vt{j}$,
位置を $\vt{r}=x(t)\,\vt{i}+y(t)\,\vt{j}$ とおくと,
この運動方程式は $x(t)$,
$y(t)$ に関する2階線形微分方程式
%
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{lcc}
x' '(t)=0 &\cdots & \maru{1}
\\[0.5em]
y' '(t)=-g &\cdots & \maru{2}
\end{array}\right.
\end{align*}
%
となる。
$x'(t)=v_x(t)$ であるから,
微分方程式 \maru{1} は $v_x(t)$ に関する微分方程式
%
\begin{align*}
v'_x(t)=0
\quad \mbox{よって} \quad
v_x(t)=C (\mbox{$C$ は定数})
\end{align*}
%
となる。
この方程式の一般解は
%
\begin{align*}
v_x(t)=C (\mbox{$C$ は任意定数})
\end{align*}
%
である。
与えられた初期条件 $v_x(0)=v_{0x}$ から,
特殊解
%
\begin{align*}
v_x(t)=v_{0x}
\quad
\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]
\end{align*}
%
が得られる。
速度を積分することによって位置を求めることができる。
すなわち,
%
\begin{align*}
x(t)
=
x(0)+\int_{0}^{t}v_x(t)\,dt
=
x_0+v_{0x}t
\quad
\left[\textrm{m}\right]
\end{align*}
%
となる。
次に,
微分方程式 \maru{2} は,
速度 $v_y(t)$ の微分方程式
%
\begin{align*}
v'_y(t)=-g
\end{align*}
%
と書き直され,
一般解
%
\begin{align*}
v_y(t)=C-gt (\mbox{$C$ は任意定数})
\end{align*}
%
が得られる。
与えられた初期条件 $v_y(0)=v_{0y}$ から
%
\begin{align*}
v_{0y}=C
\end{align*}
%
となり,
%
\begin{align*}
v_y(t)=v_{0y}-gt
\quad
\,\left[\textrm{m}/\textrm{s}\right]
\end{align*}
%
が得られる。
質点 P の $y$ 座標 $y(t)$ は
これを積分して,
%
\begin{align*}
y(t)
&=
y(0)+\int_{0}^{t}v_y(t)\,dt
\\
&=
x_0+v_{0x}t-\frac{1}{2}gt^2
\quad
\,\left[\textrm{m}\right]
\end{align*}
%
となる。
よって,
求める速度 $\vt{v}$ と位置 $\vt{r}$ は
%
\begin{align*}
\vt{v}
&=
v_{0x}\,\vt{i}+\left(v_{0y}-gt\right)\vt{j}
\\
\vt{r}
&=
\left(x_0+v_{0x}t\right)\vt{i}
+\left(y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vt{j}
\end{align*}
%
である。