質量 $m$ の物体を，
崖の上から水平に速さ $v_0$ で投げた．
投げた地点を原点とし，
初速度の方向に $x$ 軸，
鉛直下向きに $y$ 軸をとる．
重力加速度の大きさを $g$，
投げた時の時刻を $0$ とすると，
時刻 $t$ での物体の $x$ 座標 $x(t)$ と $y$ 座標 $y(t)$ は
$t$ の関数として次のように表される
%
\begin{align*}
x(t) = v_0 t, & y(t) = \frac{1}{2} g t^2.
\end{align*}
%
以下の問いに答えよ．
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
時刻 $t$ における
運動量 $\vt{p}$ の $x$ 成分 $p_x$ と $y$ 成分 $p_y$ を求めよ．
\item[(2)]
時刻 $0$ から時刻 $t$ の間に生じた運動量の変化が，
受けた力積に等しいことを証明せよ．
\end{enumerate}
%
解答例・解説
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
運動量$\vt{p}$は，速度ベクトルを $\vt{v}$ と表すと
$\vt{p} = m \vt{v}$と定義される．
ここで与式より，
$\vt{v}$ の $x$ 成分 $v_x$ と $y$ 成分 $v_y$ は
%
\begin{align*}
v_x &= x'(t) = (v_0 t)' = v_0,
\\
v_y &= y'(t) = \left(\frac{1}{2} gt^2\right)' = gt
\end{align*}
%
と求まるので
%
\begin{align*}
p_x &= m v_x = m v_0,
\\
p_y &= m v_y = m g t.
\end{align*}
%
\item[(2)]
時刻 $0$ での運動量を $\vt{p}_0$ とおくと，
$\vt{p}_0 = m (v_0, 0) = (mv_0, 0)$と成分表示できる．
その結果，
前問の結果とあわせると，
運動量の変化 $\Delta \vt{p}$ は
%
\begin{equation}
\Delta \vt{p} = \vt{p} - \vt{p}_0 = (m v_0, mgt) - (m v_0, 0) = (0, mgt)
\quad \cdots \cdots \maru{1}
\end{equation}
%
となる．
一方，
物体が受ける力$\vt{F}$は重力であり，
$\vt{F} = (F_x, F_y) = (0, mg)$ と成分表示できる．
このとき，受けた力積$\vt{I} = (I_x, I_y)$は
%
\begin{align*}
I_x &= \int_0^t F_x \,dt = 0,\\
I_y &= \int_0^t F_y \,dt = \int_0^t mg \,\,dt =
\Bigl[mgt\Bigr]^t_0 = mgt,
\end{align*}
%
と求まり，受けた力積$\vt{I}$は
%
\begin{equation}
\vt{I} = (0, mgt)
\quad \cdots \cdots \maru{2}
\end{equation}
となる．
\maru{1} と \maru{2} 式より，
$\Delta \vt{p} = \vt{I}$，
すなわち
運動量の変化と受けた力積は等しい．
\end{enumerate}