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例題集 / 機械 / 材料力学(V-A-3 力学) / 組合せ応力

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難易度

組合せ応力

理解レベル   難易度: ★★
張力が引張側$P_{1}=12 \rm{kN}$,ゆるみ側$P_{2}=8 \rm{kN}$のベルトを水平方向にかけた直径$D=100 \rm{cm}$,質量$m=300 \rm{kg}$のベルト車が図のように支持されている. 軸材の許容せん断応力$\tau_{\textrm{a}}=100 \rm{MPa}$のとき,必要な軸直径$d$を求めたい. なお,重力加速度$g=9.8 \rm{m/s^2}$とする. $(1)$ 軸にかかるねじりモーメント$T$を記号で答えよ. $(2)$ 軸にかかる曲げモーメント$M$を記号で答えよ. $(3)$ 軸の極断面係数$Z_{\textrm{p}}$を記号で答えよ. $(4)$ 相当ねじりモーメントを$T_{\textrm{e}}$として軸に生じるせん断応力$\tau$を記号で答えよ. $(5)$ $T_{\textrm{e}}$=$\sqrt{M^2+T^2}$のとき,必要な軸直径$d$を求めよ. \end{enumerate} % %=image:/media/2015/01/15/142125518656675900.png:

解答例・解説

$(1)$ \[ T=\frac{D}{2}(P_1-P_2) \] $(2)$ \[ M=l\sqrt{(P_1+P_2)^2+(mg)^2} \] $(3)$ \[ Z_p=\frac{\pi}{16}d^3 \] $(4)$ \[ \tau=\frac{T_e}{Z_p} \] $(5)$ \[ \tau=\frac{1}{Z_p}\sqrt{M^2+T^2}\\ =\frac{16}{\pi d^3}\sqrt{M^2+T^2} \] したがって, \[\begin{align} d&\geqq\sqrt[3]{\frac{16}{\pi\tau_a}\sqrt{M^2+T^2}}\\ &=\scriptsize{\sqrt[3]{\frac{16}{\pi\times100\times10^6}\sqrt{1.2^2\left\{(12\times10^3+8\times10^3)^2+(300\times9.8)^2\right\}+\frac{1}{4}(12\times10^3-8\times10^3)^2}}}\\ &=0.107\ \rm{m} \end{align} \]