$( \ 1 \ )$ 乱流 $( \ 2 \ )$ 層流 $( \ 3 \ )$ 流線 $( \ 4 \ )$ 非定常流 $( \ 5 \ )$ 流跡線

\[\rho AV=C\]

左図の検査容積を参照して，断面図①から時間$dt$で流入する流量$m_1$は， \[ m_1=\dot{m}dt=\rho AVdt \ \ \ \cdots(1)' \] 一方，断面②から流出する流量$m_2$は， \[ m_2=m_1+\frac{\partial m_1}{\partial s}ds = \rho AVdt+\frac{\partial (\rho AV dt)}{\partial s}ds \ \ \ \cdots(2)' \] 時刻$t$における検査容積内の質量を$\rho Ads$としたとき，時刻$t+dt$における質量は \[ \rho Ads+\frac{\partial (\rho A ds)}{\partial t}dt \] であるので， 時間$dt$に対する検査容積への質量の蓄積量$dm$は， \[\begin{align} dm &=\rho Ads+\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t}dt-\rho Ads\\ &=\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t}dt \ \ \ \cdots(3)' \end{align}\] 質量保存則より，(流入する量)$-$(流出する量)$=$(蓄積量)であるから，式$(1)'$，$(2)'$，$(3)'$より， \[ \rho AVds-\left(\rho AVds + \frac{\partial (\rho AVdt)}{\partial s} ds\right)=\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t} dt\\ \frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t} dt+\frac{\partial (\rho AVdt)}{\partial s} ds=0\\ \therefore \frac{\partial (\rho A)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho AV)}{\partial s}=0 \ \ \ (一次元の連続の式) \] 特に定常流では， \[ \frac{\partial (\rho A)}{\partial t}=0 \ だから，\\ \frac{\partial (\rho AV)}{\partial s}=0 \] 両辺を$s$で積分して， \[ \rho AV=C \ \ \ (連続の式) \] さらに非圧縮性流体では，$\rho=$一定であるから， \[ AV=C \] %=image:/media/2015/01/15/142125875516650300.png:

\[Q=8.5\,\rm{m^3/min}=\frac{8.5}{60}\,\rm{m^3/s}=0.14166\] \[Q=\frac{\pi}{4}d_1^2V_1=\frac{\pi}{4}d^2_2V_2より\] \[V_1=\frac{4Q}{\pi d_1^2}=\frac{4\times0.14166}{\pi\times0.3^2}=2.00427=2.0\,\rm{m/s}\] \[V_2=\frac{4Q}{\pi d_2^2}=\frac{4\times0.14166}{\pi\times0.2^2}=4.50939=4.5\,\rm{m/s}\]

\[\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C\]

$(1)$ 流体要素に働く流線方向の全圧力$fp$は，断面①に働く全圧力と断面②に働く全圧力の和として求まる．(偏導関数とテーラー展開) \[\begin{align} f_p &=pA+\left\{-\left(p+\frac{\partial p}{\partial s} ds \right)A \right\}\\ &=-A\frac{\partial p}{\partial s} ds \end{align}\] 一方，流体要素に働く重力$mg=\rho gAds$の流線方向成分$f_w$は三角関数より次のように求まる． \[\begin{align} f_w &=-\rho g Ads \cdot \sin\theta\\ &=-\rho gAds\cdot\frac{\partial z}{\partial s} \end{align}\] したがって，流線方向の外力$F$は， \[\begin{align} F &=f_p+f_w\\ &=-A\frac{\partial p}{\partial s}ds-\rho gAds\cdot\frac{\partial z}{\partial s} \ \ \cdots(1)' \end{align}\] $(2)$ 加速度$a$の定義より， \[\begin{align} a &=\frac{dV(s,t)}{dt}\\ &=\frac{\partial V}{\partial s}\cdot\frac{\partial s}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial t}\hspace{10mm} \left(合成関数の偏微分\right)\\ \\ &=V\frac{\partial V}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t} \hspace{10mm} \left( \therefore V=\frac{ds}{dt} \ 速度の定義\right) \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t} \ \ \cdots(2)' \hspace{10mm} \left(\therefore \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}=2V\frac{\partial V}{\partial s} \ 合成関数の微分\right) \end{align} \] ニュートンの運動方程式より， \[ a=\frac{F}{m} \] 上式に式$(1)'$，式$(2)'$を代入し，$m=\rho Ads$として， \[ \frac{1}{2}\cdot \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{-A\frac{\partial p}{\partial s}ds-\rho Ads\frac{\partial z}{\partial s}}{\rho Ads} \] 整理してオイラーの運動方程式が求まる． \[ \frac{1}{\rho}\cdot\frac{\partial \left(V^2 \right)}{\partial s}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}+g\frac{\partial z}{\partial s}=0 \] $(3)$ 定常流れを仮定すると， \[\frac{\partial V}{\partial t}=0 ，および\frac{\partial p}{\partial t}=0，\frac{\partial z}{\partial t}=0 \] である． 非圧縮性流体であることから$\rho=$一定として，オイラーの運動方程式の両辺を変数$s$で積分して， \[ \frac{1}{\rho}\int\frac{\partial p}{\partial s}ds+\frac{1}{2}\int\frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}ds+g\int\frac{\partial z}{\partial s}=\int 0ds\\ \frac{1}{\rho}\int dp+\frac{1}{2}\int d\left(V^2\right)+g\int dz=C \hspace{10mm} \left(Cは積分定数\right) \] 最終的にベルヌーイの定理を得る． \[ \frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C \]

$(1)$ \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}+\frac{1}{2}\frac{\partial (V^2)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}+g\frac{\partial z}{\partial s}=0\] $(2)$ \[pv^\kappa=Cより\] \[p(\frac{1}{\rho})^\kappa=C\] \[p\rho^{-\kappa}=C\] $(3)$ 定常だから \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}+\frac{1}{2}\frac{\partial (V^2)}{as}+g\frac{\partial z}{\partial s}=0\\ p\rho^{-\kappa}=Cより\\ \frac{1}{\rho}=C'p^{\frac{1}{\kappa}}\\ C'=\frac{p^{\frac{1}{\kappa}}}{\rho} \] \[\therefore C'\int{p^{-\frac{1}{\kappa}}}dp+\frac{1}{2}\int dV^2+g\int dz=C\] \[ C'\frac{1}{1+\frac{1}{\kappa}}p^{1+\frac{1}{\kappa}}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ C'\frac{\kappa}{\kappa+1}p^{\frac{\kappa+1}{\kappa}}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ \frac{p^{-\frac{1}{\kappa}}}{\rho}\frac{\kappa}{\kappa+1}p^{\frac{\kappa+1}{\kappa}}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ \frac{\kappa}{\kappa+1}\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C\\ \]

$(1)$ \[\frac{p_A}{\rho}+\frac{V_A^2}{2}=\frac{p_B}{\rho}\] $(2)$ \[p_A+\rho_wgh=p_B+\rho gh\] $(3)$ \[(1)より\hspace{10mm}p_A-p_B=-\frac{\rho}{2}V_A^2\ \ \ \cdots (1)'\] \[(2)より\hspace{10mm}p_A-p_B=(\rho-\rho_w)\rho h\ \ \ \cdots (2)'\] \[ \begin{align} (1)',(2)'より \ \ \ -\frac{\rho}{2}V_A^2&=(\rho-\rho_w)gh\\ V_A^2&=2gh\frac{\rho_w-\rho}{\rho}\\ V_A&=\sqrt{2gh\frac{\rho_w-\rho}{\rho}}\end{align} \] \[\therefore V_A=k\sqrt{2gh(\frac{\rho _w}{\rho}-1)}\]

$(1)$ \[A_1V_1=A_2V_2=Q\] $(2)$ \[\frac{p_1}{\rho_w}+\frac{v_1^2}{2}=\frac{p_2}{s_w}+\frac{V_2^2}{2}\] $(3)$ \[p_1+\rho_wgh=p_2=\rho_mgh\] $(4)$ \[ (2)より\hspace{10mm}p_1-p_2=\frac{\rho_w}{2}(V_2^2-V_1^2) \hspace{10mm}\cdots(2)'\\ (3)より\hspace{10mm}p_1-p_2=(\rho_2^2-\rho_1^2)gh \hspace{10mm}\cdots(3)' \] \[(2)',(3)'より\hspace {10mm}(\rho_m-\rho_w)gh=\frac{\rho_w}{2}(V_2^2-V_1^2)\] \[(1)より\hspace {10mm}V_1=V_2\frac{A_2}{A_1}だから\\ (\rho_m-\rho_w)gh=\frac{\rho_w}{2}(V_2^2-\frac{A_2^2}{A_1^2}V_2^2)\] \[V_2^2=\frac{1}{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}2gh\frac{\rho_g-\rho_w}{\rho_w}\\ V_2=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}}\sqrt{2gh(\frac{\rho_m}{\rho_w}-1)}\] \begin{align} \therefore Q&=A_2V_2=題意 \end{align}

$(1)$ \[\frac{p_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g}+H=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}\] \begin{align}H=\frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{V_2^2-V_1^2}{2g}&=\frac{(343-98.1)\times10^3}{1000\times9.8}+\frac{3.2^2-1.8^2}{2\times9.8}\\ &=24.9898+0.3571\\ &=35.347\\ &=35.3\ \rm{m} \end{align} $(2)$ \begin{align}P&=\rho gQH\\ &=1000\times9.8\times0.06\times\\ &=14904\,\rm{W}\\ &=14.9\,\rm{kW}\end{align}

\[ -{\bf{F}}+{\bf{F}}_m+{\bf{F}}_s=\rho Q({\bf{u}}_{out}-{\bf{u}}_{in}) \]

$(1)$ \[F=\rho QV-0\\ Q=AV\\ \therefore F=\rho AV^2\] $(2)$ \[Q'=A(V-u)\\ F'=\rho Q'(V-u)=\rho A(V-u)^2\\ L=F'u+\rho A(V-u)^2u\]

$(1)$ \[F=G_{out}w-G_{in}u=(1＋x)Gw-Gu\] \[ \therefore L=Fu=Gu\left\{\left(1＋x\right) w-u\right\} \] $(2)$ \begin{align}L&=3\times150\times\left\{\left(1＋\frac{1}{30}\right)700-150\right\}\\ &=258000\\ &=258\,\rm{kW}\end{align}

噴流の速度を$u$とすると ベルヌーイの式より \[\frac{p}{\rho}=\frac{u^2}{2}\rightarrow u^2=2\frac{p}{s}=2\frac{0.15\times10^6}{1000}=300\] 運動量の法則より \begin{align}F&＝0-(-\rho Qu)=\rho Au^2=\rho\frac{\pi}{4}d^2u^2\\ &=1000\times\frac{\pi}{4}\times(0.016)^2\times300\\ &=60.32 \,\rm{N}\end{align} \[ \therefore 推力60.32\,\rm{N}\]

$(1)$ \[A_1V_1=A_2V_2=Q\] \begin{align} V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{4Q}{\pi d_1^2}&=\frac{4\times0.2}{\pi\times0.3^2}\\ &=2.8294\\ &=2.83\,\rm{m/s} \end{align} \begin{align} V_2=\frac{4Q}{\pi d_2^2}&=\frac{4\times0.2}{\pi\times0.15^2}\\ &=11.318\\ &=11.32\,\rm{m/s}\end{align} $(2)$ \[ \frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^2}{2}=\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2} \] \begin{align} p_2&=\frac{\rho}{2}(V_1^2-V_2^2)+p_1\\ &=\frac{1000}{2}(2.829^2-11.318^2)+300\times10^3\\ &=239953\\ &=240.0\,\rm{kpa} \end{align} $(3)$ \begin{align}F_x&=\rho QV_1-\rho QV_2\cos60^\circ +p_1\frac{\pi}{4}d_1^2-p_2\frac{\pi}{4}d_2^2\cos60^\circ \\ &=1000\times0.2\times(2.8294-11.318\cos60^\circ )\\ &+(300\times0.3^2-239.95\times0.15^2\times\cos60^\circ )\times\frac{\pi}{4}\times1000\\ &=18520\\ &=18.52\,\rm{kN} \end{align} \begin{align}F_y&=0-(-\rho QV_2\sin60^\circ )+P^2\frac{\pi}{4}d_2^2\sin60^\circ \\ &=1000\times0.2\times11.318\sin60^\circ \\ &+239.95\times1000\times\frac{\pi}{4}\times0.15^2\sin60^\circ \\ &=5632.5\\ &=5.63\,\rm{kN} \end{align} $(4)$ \begin{align}F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}&=\sqrt{18.52^2+5.633^2}\\ &=19.36\rm{kN} \end{align} \begin{align}\beta=\tan^{-1}\frac{F_y}{F_x}&=\tan^{-1}\frac{5.633}{18.52}\\ &=16.92^\circ \end{align}

$(1)$ \[\begin{align} F&=\rho Q\left(V-u\right)\\ &=\rho AV\left(V-u\right) \end{align}\] \[\begin{align} L&=Fu\\ &=\rho AVu\left(V-u\right) \end{align}\] $(2)$ $\frac{dL}{du}=0$のとき$L$は最大となるので \[\begin{align} \frac{dL}{du}&=\frac{d\left\{\rho AVu\left(V-u\right)\right\}}{du}+\rho AV\left\{V-u+u\cdot\left(-1\right)\right\}\\ &=\rho AV\left(V-2u\right) \end{align}\] \[\underline{\therefore \rho AV\left(V-2u\right)＝0}\] $\rho AV\ne0$だから$V-2u=0 \ \Longrightarrow\ u=\frac{V}{2}$ \[ L_{max}=\rho AV\cdot\frac{V}{2}\left(V-\frac{V}{2}\right)=\frac{\rho AV^3}{4}\] \[ \eta_{max}=\frac{最大動力値}{流体の持つ運動エネルギ}=\frac{\frac{\rho AV^{3}}{4}}{\frac{\rho AV^3}{2}}=\frac{1}{2}=0.5 \hspace{10mm} \] $(3)$ \[\begin{align} F&=\rho Q\left(V-u-\left(-\left(V-u\right)\cos\beta\right)\right)\\ &= \rho Q\left(V-u\right)\left(1+\cos\beta\right)\\ &=\rho AV\left(V-u\right)\left(1+\cos\beta\right) \end{align}\] \[\begin{align} L&=Fu\\ &=\rho AVu\left(V-u\right)\left(1+\cos\beta\right) \end{align}\]

$(a)$ オリフィス，流量 $(b)$ ベンチュリ管，流量 $(c)$ ブルドン管，圧力 $(d)$ ピトー管，流速 $(e)$ マノメータ，圧力