{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) $i$段目に蓄積するモル数の変化は、$i-1$段目からの流入量$v_0\cdot C_{A,\,i-1}$と、 $i$段目からの流出量$v_0\cdot C_{A,\,i}$との差である。 \item (2) 体積流量$v_0$で供給されているので、 $i$段目に流入するのは$v_0C_{A,\,i-1}$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} $(蓄積)=(流入)-(流出)$であることを元に、 $i$段目のタンクの物質収支式を考える． $i$段目のタンクには、$i-1$段目のタンクよりモル濃度$C_{A,\,i-1}$の 溶液が体積流量$v_0$で流入する．したがって、流入量は$v_0C_{A,\,i-1}$である． 　一方、$i$段目のタンクからはモル濃度$C_{A,\,i}$の溶液が 体積流量$v_0$で流出するので、流出量は$v_0C_{A,\,i}$である． その差が$i$段目のタンクに蓄積することになるが、 $i$段目のタンクの濃度変化は$\displaystyle \frac{dC_{A,\,i}}{dt}$であるので、 その槽への蓄積量は反応体積$V$を乗じることで得られる． 　以上のことは、次の微分方程式で表される． \begin{equation*} V\frac{dC_{A, i}}{dt}=v_0C_{A, i-1}-v_0C_{A, i} \end{equation*}

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 空間時間$\overline{t}$は槽内に流入した溶液の滞留時間を意味しており、 この時間は全ての槽内が新しい溶液に入れ替わる時間とみれる \item (2) 無次元時間は、全ての槽内が新しい溶液で何回入れ替わったかを 意味している。 \item (3) 合成関数の微分法により、 $y=f(u),\,u=g(x)$のとき、 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} $\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}=\frac{v_0}{NV}\,t$であるから、 $\displaystyle t=\frac{NV}{v_0}\theta$である。 合成関数の微分法により、 \[ \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =\frac{dC_{A,\,i}}{dt}\cdot\frac{dt}{d\theta} =\frac{NV}{v_0}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{dt} \] となるので、 $\displaystyle V\frac{dC_{A,\,i}}{dt}=\frac{v_0}{N}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}$ である。したがって、与えられた微分方程式は \begin{align*} \frac{v_0}{N}\cdot\frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =v_0C_{A, i-1}-v_0C_{A, i} \end{align*} となるので、変数を$\theta$とした微分方程式は \begin{align*} \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =NC_{A, i-1}-NC_{A, i} \end{align*} と表される．

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item 1階線形微分方程式 \[\frac{dx}{dt}+P(t)x=Q(t)\] の解は、 \[x(t)=e^{-\int P\,dt}\cdot \left(\int Q(t)e^{\int P\,dt}\,dt+\rm const \right)\] である。 \end{enumerate} {\bf 解答} 与えられた微分方程式は、 \begin{equation} \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}+NC_{A,\, i}=NC_{A,\, i-1} \end{equation} となり、1階線形微分方程式である． したがって、解の公式により、 \[C_{A,\,i}=\exp(-N\theta)\times \left(\int_0^{\theta}NC_{A,\,i-1}\exp(N\theta)\,d\theta+\rm const\right)\] となる．初期条件より$\theta=0$のとき$C_{A,\, i}=0$であるから、 \[C_{A,\,i}(0)=e^{0}\cdot \rm const=0　 すなわち　 \rm const=0\] である．したがって、 \begin{equation} C_{A,\, i}=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{A,\, i-1}\exp(N\theta)d\theta \end{equation} が成り立つ。

{\bf 解答} \begin{enumerate} \item (1) $i=1$のとき、 \[C_{A,\, 1}(\theta)=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{\,A,\, 0}\exp(N\theta)d\theta\] である。$C_{A,\,0}$は定数であるから、 \begin{eqnarray*} C_{A,\, 1}(\theta) &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta) \times\int_{0}^{\theta}\exp(N\theta)d\theta \nonumber\\ &=&NC_{A,\, 0}\exp(-N\theta)\times \bigg[\frac1{N}\exp(N\theta)\bigg]_0^{\theta}\nonumber\\ &=&C_{A,\, 0}\exp(-N\theta)\times\left\{\exp(N\theta)-1\right\} \nonumber\\ &=&C_{A,\, 0}-C_{A,\, 0}\exp(-N\theta) \end{eqnarray*} である。 \item (2) $i=2$のとき、与えられた漸化式より \begin{eqnarray} C_{A,\,2}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}C_{A,\,1}\exp(N\theta)d\theta \nonumber \end{eqnarray} である。(1)の結果を利用する。 $\exp(-N\theta)\exp(N\theta)=\exp(0)=1$であるから \begin{eqnarray} C_{A,\,2}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} \left\{C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\right\}\exp(N\theta)d\theta \nonumber\\ &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} \left\{\exp(N\theta)-1\right\}d\theta\nonumber\\ &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times \bigg[\frac1{N}\exp(N\theta)-\theta\bigg]_0^{\theta} \nonumber\\ &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times \left\{\frac1{N}\exp(N\theta)-\theta-\frac1{N}\right\}\nonumber\\ &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)　　\cdots\cdots\maru{1} \end{eqnarray} である。 \item (3) $i=3$のとき、与えられた漸化式より \begin{eqnarray} C_{A,\,3}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}C_{A,2}\exp(N\theta)d\theta \nonumber \end{eqnarray} である。ここで、式\maru{1}を変形すると、 \begin{eqnarray} C_{A,\,2}(\theta) &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)\nonumber\\ &=&C_{A,\,0}\left\{1-\exp(-N\theta)\right\}(1+N\theta)\nonumber\\ &=&C_{A,\,0}\left\{1-\exp(-N\theta)\right\}-C_{A,0}N\theta\exp(-N\theta) \nonumber\\ &=&C_{A,\,1}-C_{A,\,0}N\theta\exp(-N\theta) \end{eqnarray} と表すことができる。したがって、 \begin{eqnarray} C_{A,\,3}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} \left\{C_{A,\,1}-C_{A,\,0}N\theta\exp(-N\theta)\right\}\exp(N\theta)d\theta \nonumber\\ &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} C_{A,\,1}\exp(N\theta)d\theta -C_{A,\,0}N^2\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}\theta d\theta\nonumber \end{eqnarray} である。ここで、第1項は$C_{A,\,2}$と一致するから、(2)の結果より \begin{eqnarray} C_{A,\,3}(\theta) &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right) -C_{A,\,0}N^2\exp(-N\theta)\bigg[\frac{\theta^2}{2}\bigg]_0^{\theta} \nonumber\\ &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right) -C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^2}{2} \nonumber\\ &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta) \left\{1+N\theta+\frac12(N\theta)^2\right\} \end{eqnarray} となる。 %\end{enumerate} \end{enumerate} \noindent 【注意】　 以上のことから、数学的帰納法により、 $N$段目では次式となることが分かる． \begin{eqnarray*} C_{A,\,N}(\theta) &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac1{2!}(N\theta)^2 +\cdots+\frac1{(N-1)!}(N\theta)^{N-1}\right\}\\ &=&C_{A,\,0} -C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} \end{eqnarray*}

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 増減は、$F'(\theta)=0$となる$\theta$の値を求めて、 その前後での$F'(\theta)$の符号を調べる。 $F'(\theta)>0$であれば増加、$F'(\theta)<0$であれば減少である。 \item (2) 凹凸は、$F''(\theta)=0$となる$\theta$の値を求めて、 その前後での$F'(\theta)$の符号を調べる。 $F''(\theta)>0$であれば下に凸、$F''(\theta)<0$であれば上に凸である。 \end{enumerate} {\bf 解答} \begin{align*} F(\theta) &=1-\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!} +\frac{(N\theta)^{3}}{3!} +\cdots+\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\right\}\\ F'(\theta) &=N\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!} +\frac{(N\theta)^{3}}{3!}+\cdots +\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\right\}\\ &　 -\exp(-N\theta)\left\{N+\frac{2\cdot N\theta\cdot N}{2!} +\frac{3\cdot(N\theta)^2\cdot N}{3!}+\cdots+ \frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\right\}\\ &=N\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!} +\cdots+\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\right\}\\ &　 -N\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!}+\cdots+ \frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\ &=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\qquad (N\ge 1) \\ F''(\theta) &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} +N\exp(-N\theta)\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\left\{\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} -\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!} \left\{N\theta-(N-1)\right\}\\ &=-N^3\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!} \left(\theta-\frac{N-1}{N}\right)\qquad (N\ge 2) \end{align*} である。 　以上のことをもとに、$N=1,2,3$の場合の増減表を作ると、 次のようになる。 　$N=1$のとき、$F(\theta)=1-\exp(-\theta)$であるから、 これは$\exp(-\theta)$のグラフを$\theta$軸に関して対称移動して、 縦軸方向に$1$だけ平行移動したものである． \[F'(\theta)=\exp(-\theta)>0\qquad F''(\theta)=-\exp(-\theta)<0\] であるから、$F(\theta)$は単調増加であり、グラフは上に凸である。 変曲点は持たない。 　$N=2$のとき、 $F(\theta)=1-\exp(-2\theta)\cdot\left(1+2\theta\right)$ である。 \begin{align*} F'(\theta) &=2\exp(-2\theta)\cdot 2\theta=4\exp(-2\theta)\cdot \theta\\ F''(\theta) &=-2^3\exp(-2\theta)\frac{(2\theta)^0}{1!}\left(\theta-\frac12\right) =-8\exp(-2\theta)\left(\theta-\frac12\right) \end{align*} となり、増減表は下記のようになる． $\theta=\frac12$のときに変曲点を持つ． 　$N=3$のとき、 $F(\theta)=1-\exp(-3\theta)\cdot\left(1+3\theta+\frac{9\theta^2}{2}\right)$ である。 \begin{align*} F'(\theta) &=3\exp(-3\theta)\frac{(3\theta)^2}{2!} =\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot\theta^2\\ F''(\theta) &=-27\exp(-3\theta)\frac{3\theta}{2}\left(\theta-\frac23\right) =-\frac{81}{2} \exp(-3\theta)\cdot\theta\left(\theta-\frac23\right) \end{align*} となり、増減表は下記のようになる． $\theta=\frac23$のときに変曲点を持つ． 下の図は、上から順に$N=1,2,3,5,10$のグラフである． 変曲点を「$\cdot$」で示した。$N$が大きくなるにつれ、 変曲点の$\theta$座標は$\theta=1$に近づいて行くことが分かる。また、 $\theta>1$の箇所でグラフの上下が入れ替わっており、 $N$が大きくなるにつれ$S$字状の曲線(シグモイド曲線)に 近づいていくことが分かる。 %=image:/media/2014/08/26/140898373174738300.jpg:$N=2$ のときの増減表 %=image:/media/2014/08/26/140898373174813000.jpg:$N=3$ のときの増減表 %=image:/media/2014/08/26/140898373174943800.jpg:$N=1,2,3,5,10$ のときのグラフ