{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 滞留時間分布関数は、ステップ応答$F(\theta)$の無次元時間$\theta$に対する 変化率を表す関数である。 \item (2) $F(\theta)$の微分では、積の微分法則 $\left\{u(x)v(x)\right\}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ を利用する。 \end{enumerate} {\bf 解答} 　積の微分法則と導関数の線形性により \begin{align*} E(\theta) &= \left\{1-\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}\right\}' \nonumber\\ &=-\left\{\exp(-N\theta)\right\}' \sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} -\exp(-N\theta)\left\{\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}} {(i-1)!}\right\}'\nonumber\\ &=-\left\{\exp(-N\theta)\right\}' \sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} -\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{\left\{(N\theta)^{i-1}\right\}'} {(i-1)!}\nonumber\\ &=N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} -\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(i-1)(N\theta)^{i-2}\cdot N} {(i-1)!}\nonumber\\ &=N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} -N\exp(-N\theta)\sum_{i=2}^{N}\frac{(N\theta)^{i-2}}{(i-2)!}\nonumber\\ &=N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} -N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N-1}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}\nonumber\\ &=N\exp(-N\theta)\cdot\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} \end{align*}

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) $\displaystyle \int_0^{\infty}E(\theta)\,d\theta =\lim_{M\to\infty}\int_0^M E(\theta)\,d\theta$ \item (2) 部分積分を繰り返していけば、$(N\theta)^{N-1}$の次数が 下がって$(N\theta)^0$に行き着く。 \item (3) $(N-1)!=(N-1)\times(N-2)!$ \end{enumerate} {\bf 解答} 　部分積分法により \begin{align*} \int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\,d\theta &=\bigg[-\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\bigg]_0^{\infty}\\ &　　　　 +\int_{0}^{\infty}\exp(-N\theta) \frac{(N-1)(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\,d\theta\\ &=0+\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta\\ &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta \end{align*} である。これを繰り返していけば、$(N\theta)^k$の次数をどんどん下げる ことができる。 \begin{align*} \int_{0}^{\infty}E(\theta) &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\,d\theta\\ &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta\\ & 以上のことを繰り返していくと\\ &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{0}}{0!}\,d\theta\\ &=\bigg[-\exp(-N\theta)\bigg]_0^{\infty} =-\lim_{\theta\to\infty}\exp(-N\theta)+\exp(0)=1 \end{align*} である。 \noindent 【注】部分積分の式の右辺第1項が0になることは、 ロピタルの定理を繰り返し利用することにより得られる。 \begin{align*} \lim_{\theta\to\infty}\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{N-1}}{\exp(N\theta)}\\ &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N} {N\exp(N\theta)}\\ &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{N-2}}{\exp(N\theta)}\\ &　 以上を繰り返していくと\\ &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{0}}{\exp(N\theta)}=0 \end{align*}

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item 関数$E(\theta)$が極大になれば、$E'(\theta)=0$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} 　$E(\theta)$の最大値では$E(\theta)=0$である。 \begin{align*} E'(\theta) &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} +N\exp(-N\theta)\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\left\{\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} -\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!} \left\{N\theta-(N-1)\right\} \end{align*} $E'(\theta)=0$となるのは $\theta=\frac{N-1}{N}=1-\frac1{N}$のときであり、 増減表は下記のようになる。 したがって、 $E(\theta)$は$\displaystyle \theta=1-\frac1{N}$のとき最大になり、 $N\to\infty$のときは$\theta\to 1$となる。 $\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}$であるので、$t=\overline{t}$のとき、 すなわち、経過時間が空間時間と一致するとき$E(\theta)$は最大になる。 %=image:/media/2014/08/26/140898625374582400.jpg:

{\bf 方針} \begin{enumerate} \item $E'(\theta)=0$となる$\theta$の値を求め、 その前後における$E'(\theta)$の符号を調べて増減表を作る。 \end{enumerate} {\bf 解答} 　$N=1$のとき、$E(\theta)=\exp(-\theta)$である。 $E'(\theta)=-\exp(-\theta)<0$であるから、 $E(\theta)$は$\theta\ge 0$のとき単調減少であり、 $\lim_{\theta\to\infty}E(\theta)=0$である。 　$N=2$のとき、$\displaystyle E(\theta)=2\exp(-2\theta)\cdot\frac{2\theta}{1!} =4\exp(-2\theta)\cdot \theta$であるので、 \[E'(\theta)=-8\exp(-2\theta)\cdot \theta+4\exp(-2\theta)\cdot 1 =-4\exp(-2\theta)(2\theta-1)\] となる。したがって、$E'(\theta)=0$となるのは$\theta=\frac12$のときであり、 増減表は下記のようになる。 また、ロピタルの定理より \begin{align*} \lim_{\theta\to\infty}E(\theta) &=\lim_{\theta\to\infty}4\exp(-2\theta)\cdot \theta =\lim_{\theta\to\infty}\frac{4\theta}{\exp(2\theta)} =\lim_{\theta\to\infty}\frac{4}{2\exp(2\theta)}=0 \end{align*} である。 　$N=3$のとき、 $\displaystyle E(\theta)=3\exp(-3\theta)\cdot\frac{(3\theta)^2}{2!} =\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot \theta^2$ であり、 \[E'(\theta) =-\frac{81}{2}\exp(-3\theta)\cdot \theta^2+27\exp(-3\theta)\cdot\theta =-\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot\theta(3\theta-2)\] となる。 $E'(\theta)=0$となるのは$\theta=\frac23$のときであり、 増減表は下記のようになる。 また、ロピタルの定理により \begin{align*} \lim_{\theta\to\infty}E(\theta) &=\lim_{\theta\to\infty}\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot \theta^2 =\lim_{\theta\to\infty}\frac{27\theta^2}{2\exp(3\theta)}\\ &=\lim_{\theta\to\infty}\frac{54\theta}{6\exp(3\theta)} =\lim_{\theta\to\infty}\frac{54}{18\exp(3\theta)}=0 \end{align*} である。 　以上により、$E(\theta)$のグラフは次のようになる。 $N=5,10,30$のグラフも示した。 %=image:/media/2014/08/26/140898757154746900.jpg:$N=2$のときの増減表 %=image:/media/2014/08/26/140898757154822300.jpg:$N=3$のときの増減表 %=image:/media/2014/08/26/140898757154887800.jpg:$N=1,2,3,10,30$のときのグラフ