{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 初期条件は、 $Y_{A,\,i}(0)=0~(i\ge 1)$であり、$i=0$のときは $Y_{A,\,0}(\theta)=\delta(\theta)$である。 \item (2) ${\cal L}\left\{Y_{A,\,i}(\theta)\right\}=Y_{A,\,i}(s)$とおくと、 ラプラス変換の公式より、次のことが成り立つ。 \[{\cal L}\left\{\frac{dY_{A,\,i}}{d\theta}\right\} =sY_{A,\,i}(s)-Y_{A,\,i}(0)=sY_{A,\,i}(s)\] \item (3) ラプラス逆変換の公式より、次のことが成り立つ。 \[{\cal L}^{-1}\left\{\frac1{s+\alpha}\right\}=\exp(-\alpha t),\quad {\cal L}^{-1}\left\{\frac1{(s+\alpha)^n}\right\} =\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\exp(-\alpha t)\] \end{enumerate} {\bf 解答}　 与えられた微分方程式を ラプラス変換すると、 \begin{align*} {\cal L}\left\{\frac{dY_{A,\,i}}{d\theta}+NY_{A,\,i}\right\} =N{\cal L}\left\{Y_{A,\,i-1}\right\}\\ sY_{A,\,i}(s)+NY_{A,\,i}(s)=NY_{A,\,i-1}(s)\\ (s+N)Y_{A,\,i}(s)=NY_{A,\,i-1}(s)\\ \therefore　 Y_{A,\,i}(s)=\frac{N}{s+N}Y_{A,\,i-1}(s) \end{align*} となる。したがって、$i=N$のとき \begin{align*} Y_{A,\,N}(s) &=\frac{N}{s+N}Y_{A,\,N-1}(s)\\ &=\frac{N}{s+N}\cdot\frac{N}{s+N}Y_{A,\,N-2}(s) =\frac{N^2}{(s+N)^2}Y_{A,\,N-2}(s)\\ &　 (以下、同様のことを繰り返す)\\ &=\frac{N^N}{(s+N)^N}Y_{A,\,0}(s) \end{align*} となる。インパルス入力$Y_{A,\,0}(\theta)=\delta(\theta)$の ラプラス変換は$1$であるから、$Y_{A,\,0}(s)=1$である。 したがって、 \begin{equation*} Y_{A,\,N}(s)=\frac{N^N}{(s+N)^N} \end{equation*} である。 この式を逆ラプラス変換することにより、 \begin{align*} Y_{A,\,N}(\theta) &={\cal L}^{-1}\left\{Y_{A,\,N}(s)\right\}\\ &={\cal L}^{-1}\left\{\frac{N^N}{(s+N)^N}\right\}\\ &=N^N{\cal L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+N)^N}\right\}\\ &=N^N\frac{\theta^{N-1}}{(N-1)!}\exp(-N\theta)\\ &=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} \end{align*} となる。 \noindent 【注意】　 この式は、ステップ応答の滞留時間分布関数$E(\theta)$と一致する。