\begin{enumerate} \item (1) オームの法則よりフェーザ表示は，以下のようになる。 \begin{eqnarray} I &=& \frac{\dot{V}}{R+j\omega L} = \frac{80\angle 0^{\circ}}{2+j2\pi\times 50\times \frac{20\sqrt{3}}{\pi}\times 10^{-3}}\nonumber\\ &=& \frac{80\angle 0^{\circ}}{2+j2\sqrt{3}} = \frac{80\angle 0^{\circ}}{\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}\angle 60^{\circ}}\nonumber\\ &=& \frac{80\angle 0^{\circ}}{4\angle 60^{\circ}} = \underline{20 \angle -60^{\circ}} \end{eqnarray} \item (2) 力率は，負荷の位相に関係する。負荷の位相は上記より $60^{\circ}$ なので 次のようになる。 \begin{eqnarray} \cos 60^{\circ} = \underline{\frac{1}{2}} \end{eqnarray} \item (3) 電力は，次のようになる。 \begin{eqnarray} P&=&|V||I|\cos\theta\nonumber\\ &=& 80\times 20\times \frac{1}{2} = \underline{800} \rm [W] \end{eqnarray} \item (4) $\dot{V}$ と $\dot{I}$ のフェーザ図は図2のようになる。 \item (5) 並列回路なので，全体のインピーダンスは \begin{eqnarray} Z &=& \frac{(R+j\omega L)\frac{1}{j\omega C}}{(R+j\omega L)+\frac{1}{j\omega C}}= \frac{R+j\omega L}{j\omega C(R+j\omega L)+1}\nonumber\\ &=& \frac{R+j\omega L}{(1-\omega^{2}LC) + j\omega CR}\nonumber\\ &=& \frac{(R+j\omega L)((1-\omega^{2}LC) - j\omega CR)} {(1-\omega^{2}LC)^{2} + (\omega CR)^{2}}\nonumber\\ &=& \frac{R(1-\omega^{2}LC) +\omega^{2}LCR }{(1-\omega^{2}LC)^{2} + (\omega CR)^{2}}\nonumber\\ &&+ \frac{j(\omega L(1-\omega^{2}LC)-\omega CR^{2})}{(1-\omega^{2}LC)^{2} + (\omega CR)^{2}} \end{eqnarray} 力率を1にするには，虚数部が0になればよい。 \begin{eqnarray} L(1-\omega^{2}LC)= CR^{2} \nonumber\\ \omega^{2}L^{2}C + CR^{2} = L\nonumber\\ ((\omega L)^{2} + R^{2})C = L \end{eqnarray} よって， \begin{eqnarray} C &=& \frac{L}{(\omega L)^{2} + R^{2}}\nonumber\\ &=& \frac{\frac{20\sqrt{3}}{\pi}\times 10^{-3}}{\left(2\pi\times 50\times \frac{20\sqrt{3}}{\pi}\times 10^{-3}\right)^{2}+2^{2}}\nonumber\\ &=& \frac{\frac{20\sqrt{3}}{\pi}\times 10^{-3}} {\left(2\sqrt{3}\right)^{2}+2^{2}} = \frac{20\sqrt{3}\times 10^{-3}}{16\pi}\nonumber\\ &=& \underline{\frac{5\sqrt{3}}{4\pi}\times 10^{-3}} ~\rm [F] \end{eqnarray} \item (6) $1-\omega^{2}LC= \frac{CR^{2}}{L}$ の関係から，インピーダンス は \begin{eqnarray} Z &=& \frac{R\frac{CR^{2}}{L} +\omega^{2}LCR }{\left(\frac{CR^{2}}{L}\right)^{2} + (\omega CR)^{2}} =\frac{\frac{CR^{3}}{L} +\omega^{2}LCR } {\frac{C^{2}R^{4}}{L^{2}} + \omega^{2}C^{2}R^{2}}\nonumber\\ &=&\frac{LCR^{3} +\omega^{2}L^{3}CR} {C^{2}R^{4} + \omega^{2}L^{2}C^{2}R^{2}} = \frac{LCR(R^{2}+\omega^{2}L^{2})}{C^{2}R^{2}(R^{2}+\omega^{2}L^{2})} \nonumber\\ &=&\frac{L}{CR} =\frac{\frac{20\sqrt{3}}{\pi}\times 10^{-3}}{\frac{5\sqrt{3}}{4\pi}\times 10^{-3}\times 2}\nonumber\\ &=&\frac{20}{\frac{5}{2}} =\frac{40}{5} = 8~[\Omega] \end{eqnarray} 電流は， \begin{eqnarray} I' = \frac{80\angle 0^{\circ}}{8} = \underline{10\angle 0^{\circ} } \rm [A] \end{eqnarray} \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/21/141651245905072800.png:図2