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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / 最大電力供給の定理

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最大電力供給の定理

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図1の回路において,次の問いに答えよ。 \begin{enumerate} \item (1) 負荷における消費電力を $R$,$E$,$X_{C}$ を用いて求めよ。 \item (2) 負荷における消費電力を最大にする抵抗 $R$,コンデンサのインピー ダンス $X_{C}$をそれぞれ求めよ。 \end{enumerate} %=image:/media/2014/11/21/141651481973354200.png:図1

解答例・解説

\begin{enumerate} \item (1) 電流は \begin{eqnarray} I &=& \frac{E}{20+j40+R-jX_{C}}\nonumber\\ &=& \frac{E}{(20+R)+j(40-X_{C})} \end{eqnarray} となるので,消費電力は次のようになる。 \begin{eqnarray} P &=& R|I|^{2} = \underline{R\frac{|E|^{2}}{(20+R)^{2}+(40-X_{C})^{2}}}\nonumber\\ \end{eqnarray} \item (2) $P$ の分母を最小にするには, \begin{eqnarray} 40-X_{C} = 0~~ \Rightarrow~~\underline{X_{C}=40} \end{eqnarray} となる。このとき \begin{eqnarray} P = \frac{R}{(20+R)^{2}}|E|^{2} \end{eqnarray} を最大にする $R$ を求める。 \begin{eqnarray} \frac{\partial P}{\partial R} &=& \frac{(20+R)^{2}-2R(20+R)}{(20+R)^{4}}|E|^{2}\nonumber\\ &=& \frac{(20+R)(20+R-2R)}{(20+R)^{4}}|E|^{2}\nonumber\\ &=& \frac{(20-R)}{(20+R)^{3}}|E|^{2} \end{eqnarray} よって,次のようになる。 \begin{eqnarray} 20-R= 0~~ \Rightarrow~~\underline{R=20}~\rm [\Omega] \end{eqnarray} \end{enumerate}