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例題集 / 電気・電子 / 電気回路 / ひずみ波交流
図1のような全波整流波を\reff{フーリエ級数}{フーリエ級数}に展開せよ。
ただし,展開した関数は第4項まで記載すること。
%=image:/media/2014/11/21/141655939943053400.png:図1
解答例・解説
偶関数波であるので,$a_{n}=0$ である。
$0$から$\pi$ を2倍すればよいので,$b_{0}$ は次のようになる。
\begin{eqnarray}
b_{0} &=& \frac{2}{2\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x dx\nonumber\\
&=& \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x dx
= \frac{2}{\pi}\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}
\nonumber\\
&=&-\frac{2}{\pi}\left(\cos \pi - \cos 0\right)
= -\frac{2}{\pi}\left(-1 - 1\right)\nonumber\\
&=& \frac{4}{\pi}
\end{eqnarray}
$b_{n}$ も$0$から$\pi$ を2倍すればよいので,次のようになる。
\begin{eqnarray}
b_{n} &=& \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin x \cos nx dx\nonumber\\
\end{eqnarray}
\reff{加法定理}{積を和・差に直す公式}を用いて
\begin{eqnarray}
b_{n} &=& \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi}
\frac{1}{2}\left(\sin(1+n)x + \sin(1-n)\right) dx\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\left[\frac{-\cos(1+n)x}{1+n}\right]_{0}^{\pi}
+\left[\frac{-\cos(1-n)x}{1-n}\right]_{0}^{\pi}
\right)\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\frac{-\cos(1+n)\pi-(-1)}{1+n}
+\frac{-\cos(1-n)\pi-(-1)}{1-n}
\right)\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\frac{-\cos(1+n)\pi+1}{1+n}
+\frac{-\cos(1-n)\pi+1}{1-n}
\right)\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\frac{-(-1)^{n+1}+1}{1+n}
+\frac{-(-1)^{n-1}+1}{1-n}
\right)\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\frac{1-(-1)^{n+1}}{n+1}
-\frac{1-(-1)^{n-1}}{n-1}
\right)\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\frac{(n-1)-(n-1)(-1)^{n+1}}{n^{2}-1}\right.\nonumber\\
&&\left.\frac{-(n+1)+(n+1)(-1)^{n-1}}{n^{2}-1}\right)
\nonumber\\
&=& \frac{2}{\pi}
\left(
\frac{-2-(n-1)(-1)^{n+1}
+(n+1)(-1)^{n-1}
}{n^{2}-1}\right)\nonumber\\
\end{eqnarray}
となることから,$n$ が奇数のとき
\begin{eqnarray}
b_{n}=\frac{2}{\pi}
\left(
\frac{-2-(n-1)
+(n+1)}{n^{2}-1}\right)=0
\end{eqnarray}
となる。$n$ が偶数のとき
\begin{eqnarray}
b_{n}&=&\frac{2}{\pi}
\left(
\frac{-2+(n-1)
-(n+1)}{n^{2}-1}\right)\nonumber\\
&=& \frac{-8}{\pi(n^{2}-1)}
\end{eqnarray}
となる。よって,次のようになる。
\begin{eqnarray}
i(x) &=& \underline{\frac{8}{\pi}
\left(
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cos 2x - \frac{1}{15}\cos 4x\right.}\nonumber\\
&&\underline{-\left.
\frac{1}{35}\cos 6x - \cdots \right)}
\end{eqnarray}
次の関数の実効値を求めよ。
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \frac{4}{\pi}\left(
\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\cos 2x - \frac{1}{15}\cos 4x -
\frac{1}{35}\cos 6x
\right)
\end{eqnarray*}
解答例・解説
実効値は以下のようになる。
\begin{eqnarray}
|f(x)| &=& \frac{4}{\pi}\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
+\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)^{2}+
\left(\frac{1}{15\sqrt{2}}\right)^{2}}\nonumber\\
&=&
\frac{4}{\pi}\sqrt{
\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{450}}\nonumber\\
&=&
\sqrt{
\frac{16}{\pi^{2}}\frac{1}{4}+\frac{16}{\pi^{2}}\frac{1}{18}+\frac{16}{\pi^{2}}\frac{1}{450}}\nonumber\\
&=&
\underline{ \sqrt{
\frac{4}{\pi^{2}}+\frac{8}{9\pi^{2}}+\frac{8}{225\pi^{2}}}}
\end{eqnarray}