直列インピーダンス $Z$ および並列アドミタンス $Y$ が $x$ の関数として $Z=Z_{0}\varepsilon^{ax}$，$Y=Y_{0}\varepsilon^{-ax}$ で与えられるとき， 電圧を $x$ の関数として求めたい。以下の空欄に当てはまる値を答えよ。 ただし，$Z_{0}$ および $Y_{0}$ は $x$ に無関係とする。 電圧と電流は次の関係がある。 \begin{eqnarray} \frac{dV}{dx} = -ZI,~~ \frac{dI}{dx} = -YV \end{eqnarray} これらから \begin{eqnarray} \frac{d^{2}V}{dx^{2}}+\fbox{(a)}\frac{dV}{dx} +\fbox{(b)}V = 0 \end{eqnarray} となる。$V = A\varepsilon^{P x}$ とおいて代入する。 \begin{eqnarray} P^{2} +\fbox{(c)}P + \fbox{(d)} = 0 \end{eqnarray} これを解いて得られる $P$ を $\gamma = \frac{\sqrt{a^{2}+4Z_{0}Y_{0}}}{2}$ を用いてそれぞれ $P_{1}$，$P_{2}$と おくと \begin{eqnarray} P_{1} = \fbox{(e)}+\fbox{(f)},~~ P_{2} = \fbox{(e)}-\fbox{(f)} \end{eqnarray} となる。 これを用いて電圧 $V$ は次のように表現することができる。 \begin{eqnarray} V = A_{1}\varepsilon^{P_{1} x}+A_{2}\varepsilon^{P_{2} x} \end{eqnarray} ここで， \begin{eqnarray} \varepsilon^{\gamma x} = \sinh \gamma x + \cosh \gamma x \label{eqn:10}\\ -\varepsilon^{-\gamma x} = \sinh \gamma x - \cosh \gamma x \label{eqn:11} \end{eqnarray} 関係から \begin{eqnarray} V = \varepsilon^{\frac{a}{2}x}\left( \fbox{(g)}\cosh \gamma x + \fbox{(h)}\sinh \gamma x\right) \end{eqnarray} となる。

長さ $l$ [km] の同心ケーブルの一端に無誘導抵抗 $R_{B}$ [$\Omega$] を接続し， 送電端からこれを測定したときのインピーダンスを求めよ。 ただし，ケーブルの心線往復 $1$ km の抵抗を$R$ [$\Omega$]，容量サセプタ ンスを $B$[$\Omega^{-1}$] とし，その他の定数は無視するものとする。 また，送電端電圧 $V_{S}$，電流 $I_{S}$ が与えられたとき，送電端から測定 した距離 $x$ におけ る電圧と電流は下記のように表せるとする。 \begin{eqnarray*} &&V = V_{S}\cosh \gamma x - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma x\\ &&I = I_{S}\cosh \gamma x - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma x \end{eqnarray*} ただし，$Z_{0}$，$\gamma$ は次式で与えられる。 \begin{eqnarray*} Z_{0} = \sqrt{\frac{R}{jB}},~ \gamma = \sqrt{jRB} \end{eqnarray*}