微小輪要素の慣性モーメント:$dJ_z$ \[\begin{align} dJ_z &=\rho2\pi rdr t \times r^2\\ &=2\pi \rho tr^3\times dr \end{align}\] \[\begin{align} J_z =\int dJ_Z &=\int^{R}_{0}2\pi \rho t r^3 dr\\ &=2\pi \rho t\int^R_0r^3 dr\\ &=2\pi \rho t \left[\frac{r^4}{4} \right]^R_0\\ &=2\pi \rho t \times\frac{R^4}{4}\\ &=\pi R^2 \rho t \times\frac{R^2}{2}\\ &=m\times\frac{R^2}{2} \end{align}\] \[ \therefore m=\pi R^2 \rho t \] 直交軸の定理より ， \[ J_z=J_x+J_y \] 円板は対象なので， \[ J_x=J_y\ , \ J_z=2J_x=2J_y \] したがって， \[ J_x=J_y=\frac{J_z}{2}=\frac{1}{2}\times m\frac{R^2}{2}=m\times\frac{R^2}{4} \] \[ \therefore J_x=m\times \frac{R^2}{4}\\ \therefore J_y=m\times \frac{R^2}{4}\\ \therefore J_z=m\times \frac{R^2}{2}\\ \therefore 単位:\ kg\cdot m^2\\ \]

\[\left\{ \begin{array}{l} \rho = 7800\ \rm{kg/m^3} \\ R=0.2\ \rm{m}\\ r=0.04\ \rm{m}\\ t=0.02\ \rm{m}\\ e=0.1\ \rm{m} \end{array} \right. \] 円板の慣性モーメント$J_z$ \[\begin{align} J_z=M\cdot\frac{R^2}{2} &=\pi R^2 \rho t \frac{R^2}{2}\\ &=\pi \times \left(0.2\,\rm{m} \right)^2\times7800\,\rm{kg/m^3} \times0.02\,\rm{m}\times\frac{\left(0.2\,\rm{m} \right)^2}{2}\\ &=0.3920\ \kgsqm \end{align}\] 円孔の慣性モーメント$J_e$， 平行軸の定理より， \[\begin{align} J_e=m\cdot\frac{r^2}{2}+m\cdot e^2 &=m\left( \frac{r^2}{2}+e^2\right)\\ &=\pi r^2 \rho t \left(\frac{r^2}{2}+e^2 \right) \\ &=\pi \times \left(0.04\,\rm{m} \right)^2\times7800\,\rm{kg/m^3}\\ &\hspace{50px}\times0.02\,\rm{m}\times\left\{\frac{\left(0.04\,\rm{m} \right)^2}{2}+\left(0.1\,\rm{m} \right)^2 \right\}\\ &=0.008468\ \kgsqm \end{align}\] 以上より，$4$個の円孔を有する円板の慣性モーメント$J$ \[\begin{align} J &=J_z-4J_e\\ &=0.3920\,\kgsqm-4\times0.008468\,\kgsqm\\ &=0.3581\,\kgsqm \end{align}\] \[ \therefore J=0.358\, \kgsqm \]