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例題集 / 機械 / 機械力学（V-A-3 力学） / ＊ 二自由度系の振動
二自由度系の振動(1)
理解レベル
難易度: ★★
ラグランジュの方程式を用いて図の2自由度系の運動方程式を求めよ．
平衡状態にある振子の長さ$l$ ，振動による振子の伸び$\xi$，鉛直線との間の振れ角を$\theta$とする．
\[
ラグランジュの方程式: \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}+\frac{\partial U}{\partial q_r}
=0
\]
\[
q_r : 一般座標 \left( r= 1,2, \ldots ,n\right)
\]
\[
運動エネルギー: T= \frac{1}{2} m \left\{ \left( l+\xi \right)^2 \dot{\theta}^2 + \dot{\xi}^2 \right\}
\]
\[
ポテンシャルエネルギ:U= \frac{1}{2} k \xi^2+ mg \left(l + \xi \right) \left(1 - \cos \theta \right)
\]
%=image:/media/2015/01/15/142125587811167300.png:
解答例・解説
$q_r = \xi$ のとき
\[
\begin{align}
\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}}
&= \frac{\partial}{\partial \dot{\xi}} \left[ \frac{1}{2}m \left\{\left( l + \xi \right)^2 \dot{\theta}^2 + \dot{\xi}^2 \right\} \right] \\
&= \frac{1}{2}m \cdot 2 \dot{\xi} \\
&=m \dot{\xi}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\frac {d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}} \right)
&= \frac{d}{dt} (m \dot{\xi}) \\
&= m \ddot{\xi}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\frac{\partial T}{\partial \xi}
&= \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ \frac{1}{2}m \left\{ \left( l + \xi \right)^2 \dot{\theta}^2 + \dot{\xi}^2 \right\} \right] \\
&= \frac{1}{2}m \cdot 2\left( l + \xi \right) \dot{\theta}^2 \\
&=m \left( l + \xi \right) \dot{\theta}^2
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\frac{\partial U}{\partial \xi}
&= \frac{\partial}{\partial \xi} \left\{ \frac{1}{2}k \xi^2 +mg \left( l + \xi \right) \left( 1 - \cos \theta \right) \right\} \\
&= \frac{1}{2}k \cdot 2\xi + mg \left( 1 - \cos \theta \right) \\
&= k \xi +mg \left( 1 - \cos \theta \right)
\end{align}
\]
\[
\therefore m \ddot{\xi} - m \left( l+\xi \right) \dot{\theta}^2 + k \xi + mg \left( 1- \cos\theta \right)
=0
\]
$ q_r = \theta $ のとき
\[
\begin{align}
\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}
&= \frac{\partial}{\partial \dot{\theta}} \left[ \frac{1}{2}m \left\{ \left( l + \xi \right)^2 \dot{\theta}^2 + \dot{\xi}^2 \right\} \right] \\
&= \frac{1}{2}m \left( l + \xi \right)^2 \cdot 2 \dot{\theta} \\
&=m \left( l + \xi \right)^2 \dot{\theta}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} \right)
&= \frac{d}{dt} \left\{ m \left( l + \xi \right)^2 \dot{\theta} \right\} \\
&= m \left\{ 2 \left( l + \xi \right) \dot{\xi} \dot{\theta} + \left( l + \xi \right)^2 \ddot{\theta} \right\}
\end{align}
\]
\[
\frac{\partial T}{\partial \theta}
=0
\]
\[
\begin{align}
\frac{\partial U}{\partial \theta}
&= \frac{\partial}{\partial \theta} \left\{ \frac{1}{2} k \xi^2 + mg \left( l + \xi \right) \left( 1- \cos\theta \right) \right\} \\
&= mg \left( l + \xi \right) \sin \theta
\end{align}
\]
\[
\therefore \left( l+\xi \right) \ddot{\theta} + 2 \dot{\xi} \dot{\theta} + g \sin \theta
=0
\]
二自由度系の振動(2)
適用レベル
難易度: ★★★
二自由度ばね質量系に調和外力が作用する場合について，以下の問いに答えよ．
%=image:/media/2015/02/02/142288877353821600.png:
%=image:/media/2015/02/02/142288666522684600.png:
\[
振幅：
\left\{\begin{array}{cccc}
X_1=\frac{\delta_{st}\omega_{n1}^2(\omega_{n2}^2-\omega^2)}{(\omega^2-\omega_1^2)(\omega^2-\omega_2^2)}\\
X_2=\frac{\delta_{st}\omega_{n1}^2\omega_{n2}^2}{(\omega^2-\omega_1^2)(\omega^2-\omega_2^2)}
\end{array}\right.\]
\[\omega_{n1}=\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\hspace{7.5mm} \omega_{n2}=\sqrt{\frac{k_2}{m_2}}\hspace{7.5mm} \delta_{st}=\frac{F}{k_1}\]
$(a)$
外力の振動数$\omega$が，系の固有振動数$\omega_1$，$\omega_2$にそれぞれ近づくとき，振幅はどうなるか．
$(b)$
$(a)$の状態を何というか．
$(c)$
$\omega=\omega_{n2}$のとき，どのような現象が起こるか．
$(d)$
$(c)$の現象を利用したものを何というか．日本語と英語で答えよ．
解答例・解説
(a)無限大，(b)共振，(c)$m_1$が静止，(d)動吸振器 dynamic damper
二自由度系の振動(3)
理解レベル
難易度: ★★
図のような二自由度系について，$( \ a \ )$運動方程式をたて，$( \ b \ )$振動数方程式を示し，$( \ c \ )$固有振動数 を求めよ．
ただし，$k=50\,\rm{kN/m}$，$m_1=2\,\rm{kg}$，$m_2=1\,\rm{kg}$ とする
%=image:/media/2015/02/02/142288888943354200.png:
解答例・解説
$(a)$
\[
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
m_1\ddot{x}_1=-kx_1-k(x_1-x_2) \\
m_2\ddot{x}_2=-k(x_2-x_1)-kx_2
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
m_1\ddot{x}_1+2kx_1-kx_2=0 \\
m_2\ddot{x}_2-kx_1+2kx_2=0
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{l}
x_1=X_1\cos\omega t \\
x_2=X_2\cos\omega t
\end{array}
\right\}と仮定\\
\end{equation}
\]
\[
\ddot{x}_1=-X_1\omega^2\cos\omega t\\
\ddot{x}_1=-X_2\omega^2\cos\omega t
\]
運動方程式に代入
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
-m_1X_1\omega^2+2kX_1-kX_2=0 \\
-m_2X_2\omega^2-kX_1+2kX_2=0
\end{array}
\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
(-m_1\omega^2+2k)X_1-kX_2=0\\
-kX_1+(-m_2\omega^2+2k)X_2=0
\end{array}
\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left |
\begin{array}{cc}
-m_1\omega^2+2k & -k \\
-k & -m_2\omega^2+2k
\end{array}
\right|\left |
\begin{array}{l}
X_1\\
X_2
\end{array}
\right|=0
\end{equation}
$(b)$
\begin{equation}
\left |
\begin{array}{cc}
-m_1\omega^2+2k & -k \\
-k & -m_2\omega^2+2k
\end{array}
\right|=0
\end{equation}
$(c)$
\[(-m_1\omega^2+2k)(-m_2\omega^2+2k)-k^2=0\]
\[m_1m_2\omega^4-2m_1k\omega^2-2m_2k\omega^2+4k^2-k^2=0\]
\[m_1m_2\omega^4-2(m_1+m_2)kw^2+3k^2=0\]
ここで，$m_1=2m_2$を代入
\[2m_2^2\omega^4-2\cdot3m_2k\omega^2+3k^2=0\]
\[2m_2^2\omega^4-6m_2k\omega^2+3k^2=0\]
解の公式より
\begin{align}
\omega^2&=\frac{6m_2k\pm\sqrt{36m_2^2k^2-4\times2m_2^2\times 3k^2}}{2\times2m_2^2}\\
&=\frac{6m_2k\pm\sqrt{36m_2^2k^2-24m_2^2k^2}}{4m_2^2}\\
&=\frac{6m_2k\pm\sqrt{12}m_2k}{4m_2^2}\\
&=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{k}{m_2}\end{align}
\[\omega_1=\sqrt{\frac{3-\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{50\times10^3\,\rm{N/m}}{1\,\rm{kg}}}=178.0\,\rm{rad/s}\]
\[\omega_2=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{50\times10^3\,\rm{N/m}}{1\,\rm{kg}}}=343.9\,\rm{rad/s}\]
\[\underline{\therefore\omega_1=178\,\rm{rad/s}，\omega_2=344\,\rm{rad/s}}\]
\[f_1=\frac{\omega_1}{2\pi}=\frac{178.0\,\rm{rad/s}}{2\pi}=28.32\,\rm{Hz}\]
\[f_2=\frac{\omega_2}{2\pi}=\frac{343.9\,\rm{rad/s}}{2\pi}=54.73\,\rm{Hz}\]
\[\underline{\therefore f_1=28.3\,\rm{Hz}，f_2=54.7\,\rm{Hz}}\]