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例題集 / 機械 / 機械力学(V-A-3 力学) / * 振動伝達と防振

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難易度

振動伝達と防振

理解レベル   難易度: ★★
強制力振幅$9\,\rm{kN}$,回転数$2700\,\rm{rpm}$で定常運転される$700\,\rm{kg}$の機械がある. 床への伝達力振幅を$1.125\,\rm{kN}$に抑えるよう本体を弾性支持して防振するとき,$( \ a \ )$振動数比,$( \ b\ )$固有振動数,$(\ c\ )$弾性支持のばね定数,$(\ d\ )$機械の定常変位振幅 をそれぞれ求めよ. 倍率係数(強制力)\[\Gamma=\frac{A}{\delta_{st}}\frac{1}{\sqrt{(1-Z^2)^2+(2\zeta Z)^2}}\] 伝達率\[T_R=\frac{|F_T|}{F}=\frac{\sqrt{1+(2\zeta Z)^2}}{\sqrt{(1-Z^2)^2+(2\zeta Z)^2}}\]

解答例・解説

$(a)$ \[T_R=\frac{|F_T|}{F}=\frac{1}{|1-Z^2|}=\frac{1.125\,\rm{kN}}{9\,\rm{kN}}=\frac{1}{8}よりZ>1\] \[\frac{1}{Z^2-1}=\frac{1}{8}より\] \[Z^2=8+1=9\] \[\underline{\therefore Z=3}\] $(b)$ \[f=\frac{2700\,\rm{rpm}}{60}=45.0\,\rm{Hz}\] \[Z=\frac{f}{f_n}よりf_n=\frac{f}{Z}=\frac{45.0\,\rm{Hz}}{3}=15.0\,\rm{Hz}\] \[\underline{\therefore f_n=15.0\,\rm{Hz}}\] \[\omega_n=2\pi f_n=2\pi \times15.0\,\rm{Hz}=94.24\,\rm{rad/s}\] \[\underline{\therefore\omega_n=94.2\,\rm{rad/s}}\] $(c)$ \begin{align}\omega_n^2=\frac{k}{m}よりk&=\omega_n^2\cdot m=(94.24\,\rm{rad/s})^2\times700\,\rm{kg}\\&=6.216\times10^6\,\rm{N/m}\end{align} \[\underline{\therefore k=6.22\,\rm{MN/m}}\] $(d)$ \begin{align}A=\frac{\delta st}{|1-Z^2|}=\frac{F/k}{Z^2-1}&=\frac{9\times10^3\,\rm{N}}{6.216\times10^6\,\rm{N/m}\,(3^2-1)}\\ &=0.1809\times10^{-3}\,\rm{m}\end{align} \[\underline{\therefore A=0.181\,\rm{mm}}\]